Що буде, якщо будь-яке число ділити на нуль

Чому не можна ділити на нуль?

«Ділити на нуль не можна!» — більшість школярів заучує це правило напам'ять, не питаючи. Всі діти знають, що таке "не можна" і що буде, якщо у відповідь на нього запитати: "Чому?" А насправді ж дуже цікаво і важливо знати, чому ж не можна.

Вся річ у тому, що чотири дії арифметики — додавання, віднімання, множення та поділ — насправді нерівноправні. Математики визнають повноцінними лише два з них — додавання та множення. Ці операції та його властивості входять у саме визначення поняття числа. Всі інші дії будуються тим чи іншим чином із цих двох.

Розглянемо, наприклад, віднімання. Що означає 5 – 3? Школяр відповість на це просто: треба взяти п'ять предметів, відібрати (прибрати) три з них і подивитися, скільки залишиться. Але математики дивляться на це завдання зовсім по-іншому. Немає жодного віднімання, є тільки додавання. Тому запис 5 – 3 означає таке число, яке при складанні з числом 3 дасть число 5. Тобто 5 – 3 - Це просто скорочений запис рівняння: x + 3 = 5. У цьому рівнянні немає жодного віднімання. Є лише завдання — знайти потрібне число.

Так само справа з множенням і поділом. Запис 8 : 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівними купками. Але насправді це просто скорочена форма запису рівняння 4 · x = 8.

Ось тут і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5 : 0 - Це скорочення від 0 · x = 5. Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5. Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0. Це невід'ємна властивість нуля, строго кажучи, частина його визначення.

Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось, крім нуля, просто не існує. Тобто, наше завдання не має рішення. (Так, таке буває, не у всякого завдання є рішення.) А отже, записи 5 : 0 не відповідає жодного конкретного числа, і вона просто нічого не означає і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють, говорячи, що на нуль ділити не можна.

Найуважніші читачі тут неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль? Справді, адже рівняння 0 · x = 0 благополучно вирішується. Наприклад, можна взяти x = 0, і тоді отримуємо 0 · 0 = 0. Виходить, 0 : 0=0? Але не поспішатимемо. Спробуємо взяти x = 1. Отримаємо 0 · 1 = 0. Правильно? Значить, 0 : 0 = 1? Але так можна взяти будь-яке число і отримати 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 і т.д. буд.

Але якщо підходить будь-яке число, то у нас немає жодних підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якій кількості відповідає запис 0 : 0. А якщо так, то ми змушені визнати, що цей запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль. (У математичному аналізі бувають випадки, коли завдяки додатковим умовам завдання можна віддати перевагу одному з можливих варіантів розв'язування рівняння 0 · x = 0; у таких випадках математики говорять про «розкриття невизначеності», але в арифметиці таких випадків не зустрічається.)

Ось така особливість має операція поділу. А точніше — операція множення і пов'язаного з нею числа нуль.

Ну, а найприскіпливіші, дочитавши до цього місця, можуть запитати: чому так виходить, що ділити на нуль не можна, а вичитати нуль можна? У певному сенсі саме з цього питання і починається справжня математика. Відповісти на нього можна лише познайомившись із формальними математичними визначеннями числових множин та операцій над ними. Це не так уже й складно, але чомусь не вивчається в школі. Натомість на лекціях з математики в університеті вас насамперед навчатимуть саме цьому.

Поділ на нуль

Приватне від поділу на нуль будь-якого числа, відмінного від нуля, немає.

Міркування тут такі: оскільки в цьому випадку жодна кількість не може задовольнити визначення приватного.

хоч би яке число взяти на пробу (скажімо, 2, 3, 7), воно не годиться тому що:

і т. д., а потрібно одержати у творі 2,3,7.

Можна сміливо сказати, що завдання розподілі на нуль числа, відмінного від нуля, немає решения. Однак число, відмінне від нуля, можна розділити на число, як завгодно близьке до нуля, і чим ближче дільник до нуля, тим більше буде приватне. Так, якщо ділитимемо 7 на

то отримаємо приватні 70, 700, 7000, 70000 і т. д., які необмежено зростають.

Тому часто кажуть, що приватне від поділу 7 на 0 «нескінченно велике», або «рівно нескінченності», і пишуть

Сенс цього висловлювання у тому, що й дільник наближається до нуля, а ділене залишається рівним 7 (чи наближається до 7), то приватне необмежено збільшується.