Три найвідоміші математичні константи: як вони з'явилися і навіщо потрібні

В основі нашого Всесвіту стоять числа, також відомі як фундаментальні константи. Вони показують, як рухаються галактики, як розширюється Всесвіт, як взагалі працює простір та час. Розповідаємо, хто їх відкрив та за що відповідає кожне число.

Читайте «Хайтек» у

Що таке математична константа?

На противагу змінним величинам існують математичні постійні. Математична постійна, чи константа — це величина, значення якої незмінне. Головною відмінністю математичних констант є їх незалежність від фізичних вимірів. Усі математичні константи мають буквене позначення.

Число Пі

Число Пі (π) - це математична константа, що дорівнює відношенню довжини кола до її діаметру. Десяткове уявлення числа ніколи не закінчується і є еталоном для високопродуктивних обчислень.

Чому одно: 3,1415926535…

На сьогоднішній день число Пі розрахували з точністю до 62,8 трлн. знаків після коми - за допомогою 32-ядерних процесорів AMD.

Якщо виміряти мотузкою довжину кола, вийде, що вона дорівнює приблизно трьом її діаметрам. Людство з'ясувало це ще в давнину. До речі, це співвідношення підходить для будь-якого кола — неважливо, йдеться про годинник або колесо огляду. Іншими словами, всі кола у світі пов'язані цією математичною константою. Ще до нашої ери люди знали, що це число трохи більше трьох. Питання в тому, наскільки. Століття ця загадка не давала спокою мислителям, оскільки мала велике значення і майже вирахована. Але це "майже" розтяглося на кілька тисяч років.

Точне авторство числа Пі невідоме.Взагалі, відкриття приписується древнім індійцям, грекам, китайцям та іншим добрим людям. Вперше позначив його грецькою буквою π на початку XVIII століття англійський математик Вільям Джонс.

Число π стільки ж років, скільки всій математиці: близько 4 тис. Найстаріші шумерські таблички наводять йому цифру 25/8, чи 3,125. Помилка – менше відсотка. Вавилонці абстрактної математикою особливо не захоплювалися, так що π вивели досвідченим шляхом, просто вимірюючи довжину кіл. До речі, це перший експеримент із чисельного моделювання світу.

Число Бога

Число Фі (φ) — число Бога, Золоте Перетин, Золота Пропорція — має багато назв. Сам собою це відношення однієї частини чогось до іншої з коефіцієнтом 1,618 (це 61,8%), або 62% на 38%.

Чому одно: 1,6180339887…

Класичне визначення Золотої Пропорції: менше відноситься до більшого, так як більше відноситься до цілого, з коефіцієнтом 1,618.

Прийнято вважати, що вперше закономірності співвідношення розмірів тіла людини та окремих її частин узагальнив та сформулював у 1855 році німецький дослідник Цейзинг у своїй науковій праці «Естетичні дослідження». За основу своєї теорії він узяв вчення про Золоте Перетин.

Ще VI столітті до зв. е. давньогрецький філософ і математик Піфагор ввів у науковий побут поняття «золотий поділ». «Золотий поділ» — це пропорційний поділ відрізка на нерівні частини. При цьому менший відрізок відноситься до більшого, як більший відрізок відноситься до всього відрізка. a : b = b : c або з : b = b : а.

Історія Золотого Перетину пов'язана ще з одним відомим італійським математиком Фібоначчі. До наших часів дійшла низка чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. д., відомий як ряд Фібоначчі.

Особливість послідовності даних чисел полягає в тому, що кожен її член починаючи з третього дорівнює сумі двох попередніх (2+3=5, 3+5=8), а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення Золотого Перетину (21:34= 0,617, а 34:55 = 0,618). Згодом усі дослідники Золотого Перетину в рослинному та тваринному світі, мистецтві та анатомії приходили до цього ряду як арифметичного вираження закону золотого поділу. Цікаво, що свій закон Фібоначчі вивів, підраховуючи кількість народжених кроликів від кількох кроликів за рік.

Тож у чому ж ореол таємничості Золотого перетину? Все, що росте і набуває якоїсь форми в живому світі нашої планети, росте вгору або закручується по спіралі. Спіраль (наприклад, морська раковина) – приклад співвідношення у пропорціях Золотого Перетину. Спіралі простежуються в розташуванні насіння в шишках хвойних дерев, у насінні соняшнику та ін.

Число Непера

Число е - свого роду двійник π. Якщо π відповідає за простір, то е — за час, і теж поводиться майже всюди. Скажімо, радіоактивність полонію-210 зменшується в раз за середній термін життя одного атома, а раковина молюска Nautilus - це графік ступенів, обернутий навколо осі.

Чому одно: 2,718281828…

е — основа натурального логарифму, математична константа, ірраціональне та трансцендентне число. Приблизно дорівнює 2,71828. Іноді його називають числом Ейлера або числом Непера. Позначається малою латинською літерою "e".

Іншими словами, число є базовим співвідношенням зростання для всіх безперервно зростаючих процесів. Воно бере участь як у системах із експоненційним, так і постійним зростанням: населення, радіоактивний розпад, підрахунок відсотків та інші.Навіть ступінчасті системи, які не ростуть рівномірно, можна апроксимувати за допомогою числа е.

Також, як будь-яке число можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії 1 (базової одиниці), будь-яке коло можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії одиничного кола (з радіусом 1). І будь-який коефіцієнт зростання може бути розглянутий у вигляді «масштабованої» версії е («одиничного» коефіцієнта зростання).

Отже число е — це випадкове, взяте навмання число. Число е втілює у собі ідею, що це безперервно зростаючі системи є масштабованими версіями однієї й тієї ж показника.

Число відкрив Джон Непер, шотландський математик, у 1618 році. Самого числа він не згадував, зате збудував на його основі свої таблиці логарифмів. Одночасно кандидатами в автори константи вважаються Якоб Бернуллі, Лейбніц, Гюйгенс та Ейлер. Достовірно відомо лише те, що символ е взявся з прізвища останнього.

Як і π, е - трансцендентне число. Говорячи простіше, його не можна виразити через дроби та коріння. Є гіпотеза, що такі цифри в нескінченному «хвості» після коми зустрічаються всі комбінації цифр, які тільки можливі.

Читати далі