Симетричне відношення

Симетричне відношення в математиці - це бінарне ставлення, яке залежить від порядку аргументів.

Визначення [ ]

• Нехай на множині X визначено бінарне відношення R . Тоді R називається симетричним, якщо ∀ x , y ∈ X ( x R y ) ⇔ ( y R x ) . xRy\Leftrightarrow yRx.>
• Відношення R називається асиметричнимякщо воно не є симетричним (ні).
• Відношення R називається антисиметричним, якщо ∀ x , y ∈ X ( x R y ) ∧ ( y R x ) ⇒ ( x = y ) . xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y.>

Зауваження [ ]

• Таким чином розрізняють асиметрію та антисиметрію.
• Відношення може бути одночасно симетричним і антисиметричним або воно може задовольняти лише одній або жодній із згаданих властивостей.

Приклади [ ]

• Відношення рівності симетрично та антисиметрично.
• Відношення суворої нерівності на числовій прямій антисиметрично та асиметрично.
• Ставлення "полює на" на безлічі всіх тварин видів асиметрично, але не антисиметрично.

Коли безліч є симетричною

Нехай у безлічі поставлене деяке ставлення.

Ставлення рефлексивно , якщо будь-якого елемента з безлічі виконано (тобто. будь-який елемент пов'язаний ставленням із собою).
Наприклад: відношення рівності на безлічі відрізків рефлексивне, тому що будь-який відрізок дорівнює сам собі.

Відношення симетрично, якщо випливає для будь-яких елементів множини. Відношення рівності на множині відрізків є симетричним, тому що якщо , то і .

Відношення називається транзитивним , якщо з того, що слід, що . Зокрема, відношення рівності відрізків рефлексивно, оскільки якщо відрізок дорівнює відрізку, а відрізок дорівнює відрізку, то відрізок дорівнює відрізку.

Відношення в множині називається ставленням еквівалентності, якщо воно одночасно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Будь-яке відношення еквівалентності у множині дозволяє спеціальним чином розрізняти елементи цієї множини. Позначимо через безліч всіх елементів з таких, що Це безліч є підмножиною , яка називається класом еквівалентності . Якщо в силу симетричності і транзитивності відносини будь-який елемент, еквівалентний, еквівалентний і. Якщо ж не еквівалентний , то й не мають загальних елементів, тому що якщо і , то через симетричність і , і через транзитивність що суперечить умові. Таким чином, ставленням еквівалентності безліч розбивається на класи, що не перетинаються, еквівалентності, при якому кожен елемент потрапляє в свій клас.

Як ми бачили в наведених вище прикладах, рівність на багатьох відрізках є ставленням еквівалентності і задає його розбиття на класи еквівалентності. Кожен такий клас містить відрізки заданої довжини.

Перетином множин називається безліч, до якої входять ті і тільки ті елементи, які одночасно належать множинам (загальні елементи множин . Позначення: , де символ – знак перетину двох множин. Два множини перетинаються , якщо , і не перетинаються , якщо .

Наприклад: якщо дві прямі не перетинаються, можна записати , якщо вони перетинаються, то за визначенням їх перетином є загальна точка . Перетином променя з променем, що його доповнює, є їх загальний початок.

Об'єднанням двох множин називається безліч, що складається з тих елементів, які належать хоча б одному з цих множин. Позначення: де символ – знак об'єднання множин.

Наприклад: об'єднанням променя з променем, що його доповнює, є пряма.

Різницею двох множин називається така множина, до якої входять всі ті елементи, які належать і не належать. Позначення: . Якщо - підмножина, то називають доповненням до і позначають.

Наприклад: різницею прямої та її променя з початком є ​​безліч точок доповнюючого променя без початкової точки .

Введені операції мають ряд властивостей.

Перетин та об'єднання множин комутативно (перестановочно): .

Ці властивості випливають із визначення. Справді, нехай тоді , отже, . Звідси. Аналогічно доводиться зворотне твердження. Звідси.

Нехай тоді або , але тоді і . Аналогічно. Отже, .

Перетин та об'єднання множин асоціативно: для будь-яких множин маємо

Нехай, звідси і, або. Звідси і, отже, і вірно. Навпаки, якщо , випливає, що , звідки й вірно . Звідси (див. рис. 16.2.1 a), b)). Аналогічно доводиться рівність множин.

Симетрична різниця

Симетрична різниця теоретично множин — це сума різниць двох множин.

Визначення [ ]

Нехай дані дві множини A і B . Тоді їх симетричною різницею називається безліч:

A Δ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A ) .

Властивості [ ]

• Симетрична різниця може бути еквівалентно визначена таким чином:

• Симетрична різниця є бінарною операцією на будь-якому булеані;
• Симетрична різниця комутативна:

• Симетрична різниця транзитивна:

• Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:

• Будь-яка множина назад сама собі щодо операції симетричної різниці:

• Зокрема, булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою;
• Булеан з операцією симетричної різниці є векторним простором над полем Z 2 .
• Перетин множин дистрибутивно щодо симетричної різниці:

• Зокрема, булеан з операціями перетину множин та симетричної різниці є алгеброю з одиницею .