Як визначити конус
Конус
Далі ми розглянемо найпоширеніший тип конуса – прямий круговий. Інші можливі варіанти малюнка перелічені в останній частині публікації.
Отже, прямий круговий конус - це об'ємна геометрична фігура, отримана обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів, який буде в цьому випадку віссю фігури. У зв'язку з цим такий конус іноді називають конусом обертання.
Конус на малюнку вище виходить внаслідок обертання прямокутного трикутника ACD (або BCD) навколо катета CD.
Елементи конуса
Визначення. Вершиною конуса є точка (К), з якої виходять промені. Визначення. Основа конуса - це площина, утворена перетином плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі підстави, як коло, еліпс, гіпербола та парабола. Визначення Утворюючий конус (L) — це будь-який відрізок, що з'єднує вершину конуса з межею основи конуса. Утворювальна - це відрізок променя, що виходить з вершини конуса):
Визначення. Напрямна конуса – це крива, що описує контур основи конуса. Визначення. Бічна поверхня конуса є сума всіх утворюючих конуса. Тобто Поверхня конуса складається з бічної поверхні і підстави конуса Визначення Висота конуса (Н) - це відрізок, що виходить з вершині конуса і перпендикулярна до основи. Визначення. Вісь конуса (а) є прямою лінією, що проходить через вершину конуса і центр підстави конуса. Визначення конусності (С) конуса – це відношення діаметра основи конуса до його висоти.У випадку зрізаного конуса це відношення різниці діаметрів перерізів D і d зрізаного конуса і відстані між ними:
де C - конусність, D - діаметр основи, d - діаметр меншої основи, h - відстань між основами.
Конусність характеризує гостроту конуса, тобто кут нахилу, що утворює до основи конуса. Чим більша конусність, тим гострішим буде кут нахилу кута конусності α:
де R – радіус основи, H – висота конуса.
Визначення: осьовим перерізом конуса називається переріз конуса площиною, що проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, де сторони утворені утворюючими, а основа трикутника є діаметром основи конуса.
Визначення: Стосовною площиною до конуса називається площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна до осьового перерізу конуса. Конус, що спочиває на колі, еліпсі, гіперболі або параболі, називається круговим, еліптичним, гіперболічним або параболічним конусом відповідно (останні два мають нескінченний обсяг).
Визначення: Прямий конус - це конус, вісь якого перпендикулярна до основи. У такого конуса вісь збігається з висотою, а утворюють рівні між собою Формула Обсяг круглого конуса:
де R – радіус основи, а H – висота конуса. Формули. Площа бічної поверхні (Sb) прямого конуса через радіус R і довжину утворює L:
Формули. Сумарна площа поверхні (Sp) прямого кругового конуса по радіусу R і довжині утворює L:
Визначення: Похилий (похилий) конус – це конус, вісь якого не перпендикулярна до основи. У такого конуса вісь не збігається з висотою.
де S – площа основи, а H – висота конуса.
Визначення.Усічений конус - це частина конуса, розташована між основою конуса і площиною перерізу, паралельною основі. Формули. Об'єм усіченого конуса:
де S1 і S2 - площі меншої та більшої основи відповідно, а H і h - відстань від вершини конуса до центру нижньої та верхньої основи відповідно.
Плоскі перерізи конуса
Перетину конуса в координатних площинах є пари прямих, що перетинаються, задовольняють рівнянням (для) або (для) відповідно в цих площинах.
Тепер розглянемо перетин конуса площиною, паралельною площині. Підставивши , де - довільна константа (параметр), рівняння (4.50), отримаємо
Цьому рівнянню задовольняє одна речова точка - початок координат. За будь-якого ненульового значення параметра рівняння визначає еліпс з півосями. Отже, частина конуса на площині є еліпс, центр якого лежить на осі докладання, а вершини належать координатним площинам.
Отже, конус можна як поверхню, утворену еліпсами, центри яких лежать на осі докладання, а вершини належать координатним площинам.
Види конусів
- Правий конус має симетричну основу. Ортогональна проекція вершини цієї фігури на площину основи збігається із центром цієї основи.
- Косий (похилий) конус - ортогональна проекція вершини фігури на основу не збігається з центром цієї основи.
- Усічений конус (конічний шар) - частина конуса, що залишається між основою і січною площиною, паралельною до цієї основи.
- Круглий конус – основа фігури – коло. Розрізняють також: еліптичні, параболічні та гіперболічні конуси.
- Рівносторонній конус – це прямий конус, що утворює якого дорівнює діаметру основи.
Рівняння конуса
1. Рівняння прямого кругового конуса в декартовій системі координат з координатами (x, y, z):
2. Рівняння прямого еліптичного конуса в декартовій системі координат з координатами (x, y, z):
Основні властивості кругового конуса
1. Усі утворюючі прямого кругового конуса рівні між собою.2. При обертанні прямокутного трикутника навколо ніжки на 360° утворюється круговий круговий конус.3. При повороті рівнобедреного трикутника навколо своєї осі на 180 ° утворюється прямокутний круговий конус. На перетині конуса з площиною, паралельною до основи конуса, утворюється коло. (див усічений конус)
5. Якщо площина в точці перетину не паралельна основі конуса і не перетинає дно, то в точці перетину утворюється еліпс (рис. 3).6. Якщо площина перерізу проходить через основу, то у точці перетину утворюється парабола (рис. 4).7. Якщо площина перерізу проходить через вершину, у точці перетину утворюється рівнобедрений трикутник (див. осьовий переріз). Центр ваги будь-якого конуса знаходиться на чверті висоти від центру основи.
Осьовий переріз конуса та його площа
Щоб записати формулу площі осьового перерізу конуса, необхідно спочатку ознайомитися із самим перетином. Виходить так: потрібно взяти січну площину, розташувати її паралельно осі конуса. Потім необхідно розрізати конус площиною на дві однакові частини так, щоб вершина фігури потрапила до площини перерізу.
Неважко уявити, що в результаті описаної операції вийде рівнобедрений трикутник. Рівні сторони трикутника будуть такими ж, як утворюють довжини. А третя сторона дорівнюватиме діаметру основи.
Формула площі осьової частини конуса (див. рисунок вище) не складна. Йому відповідає формула обчислення цього значення описаного трикутника. Так як площа трикутника дорівнює добутку основи на висоту, яке потрібно розділити навпіл, то шукана рівність для осьового перерізу матиме вигляд:
Ця формула стверджує, що S вдвічі більше площі прямокутного трикутника, обертання якого було досягнуто конусом.
Усічений конус та його осьовий перетин
Усічений конус виходить з правильного конуса за допомогою січної площини, паралельної основи. Фігура, що вийшла, під площиною буде усіченим конусом. Це показано на зображенні.
Крім бічної поверхні, ця фігура складається з двох основ, які є великим і малим колами. Позначимо їх радіуси як r1 та r2. Відстань між основами називається висотою і позначається літерою h.
Осьовий переріз конуса, що розглядається, буде квадратом, дві сторони якого є утворюючими. А дві інші сторони будуть паралельні одна одній і дорівнюють 2*r1 і 2*r2 відповідно. Цей квадрат буде рівнобедреною трапецією, як показано на малюнку нижче.
Цей факт дозволяє використовувати вираз для трапеції для запису формули площі поперечного перерізу зрізаного осьового конуса. Він матиме вигляд:
S = (2 * r1 + 2 * r2) / 2 * h = h * (r1 + r2)
Тобто площа S дорівнює добутку суми радіусів підстав усіченого конуса з його висоту.
Для розв'язання геометричних завдань також може знадобитися формула зв'язку між утворювальною фігурою та її параметрами r1, r2 і h. Відповідний вираз матиме вигляд:
Його досить легко отримати самостійно, якщо розглянути прямокутний трикутник усередині конуса, збудований на сторонах g, h і (r1 - r2).
Завдання визначення площі перерізу осьового конуса усіченого
Покажемо, як знайти площу осьового перерізу на прикладі зрізаного конуса.
Відомо, що висота цієї фігури дорівнює 10 см. Відомо також, що для конуса з осьовим перетином площа дорівнює різниці площ основ.
Залежно стану завдання можна записати два рівняння:
Значення висоти відоме з умови. Таким чином, у нас є 2 подібності та 2 невідомі.
h * (2 * r2 + r2) = pi * ((2 * r2) 2 - r22) =>
Ми одержали неповне квадратне рівняння, яке необхідно вирішити щодо змінної r2.
Тоді великий радіус r1 дорівнюватиме:
Підставивши ці рівності у формулу площі осьової частини конуса, отримаємо:
Підставляємо числове значення h і записуємо відповідь: S 95,54 см2.
Об'єм, площі бічної та повної поверхонь конуса та усіченого конуса
Введемо такі позначення
У | обсяг конуса (обсяг усіченого конуса) |
Сторінка | бічна поверхня конуса (Площа бічної поверхні усіченого конуса) |
Повний | загальна площа поверхні конуса (Повна поверхня зрізаного конуса) |
Сосн | базова поверхня конуса |
Додаткова база | площа верхньої основи усіченого конуса |
Повільніше основний | площа нижньої основи усіченого конуса |
Тоді справедливі наступні формули для розрахунку обсягу, площі бічної та всієї поверхні конуса, а також формули для розрахунку обсягу, площі бічної та всієї поверхні зрізаного конуса.
Фігура | Малюнок | Формули для об'єму, бічної та повної площі поверхні |
Конус | Sпрім = πr2, |
де
h – висота зрізаного конуса,
r – радіус нижньої основи усіченого конуса,
r1 - радіус верхньої основи усіченого конуса,
Формули для об'єму, бічної та повної площі поверхні:
Формули для об'єму, бічної та повної площі поверхні:
де
h – висота зрізаного конуса,
r – радіус нижньої основи усіченого конуса,
r1 - радіус верхньої основи усіченого конуса,
3. Формула розрахунку обсягу конуса
можна отримати з формули об'єму правильної n-вуглецевої піраміди
дійшовши до краю, коли кількість сторін правильної піраміди n зростає до нескінченності.
4. Формула розрахунку обсягу зрізаного конуса
можна отримати з формули об'єму правильної усіченої n-вуглецевої піраміди
переходячи до межі, коли кількість сторін правильної зрізаної піраміди n зростає до нескінченності.
Круговий конус
Для всіх частин конуса після площини стають кругами. Такий конус є фігурою обертання і називається прямим круговим конусом.
1. Конус є лінійчастою поверхнею, оскільки його можна отримати, пересуваючи пряму лінію.
2. Конус, утворений асимптотами гіпербол, отриманих при розрізанні гіперболоїда площиною, що проходить через вісь, називається асимптотичним конусом цього гіперболоїда. На рис.
3.Конус (4.50) може бути отриманий з прямого кругового конуса (для якого) в результаті двох стисків (розтягу) до координатних площин і .
4. Початок канонічної системи координат – центр симетрії конуса, координатні осі – осі симетрії конуса, координатні площини – площини симетрії конуса.
Справді, якщо точка належить конусу, то точки з координатами за будь-якого вибору знака також належать конусу, оскільки їх координати задовольняють рівнянню (4.50).
5. Розглянемо переріз прямого кругового конуса площиною, що не проходить через вершину, наприклад площиною , де довільна постійна (параметр) нахил прямої на площині. Зазначимо, що утворюють конуса, що розглядається, на площині описуються рівнянням з нахилом. Підставляючи в рівняння конуса, отримуємо
Це рівняння проекції на координатну площину лінії перетину площини та конуса. Обчислювальні інваріанти
Коли ми маємо. За таблицею 3.2 визначаємо, що перетин, що розглядається, що перетинає всі утворюють прямого кругового конуса, є еліпсом. Коли ми маємо. За таблицею 3.2 визначаємо, що аналізований переріз, паралельний двом утворюючим кругового конуса, є гіперболою. Коли ми маємо. За таблицею 3.2 визначаємо, що розріз, що розглядається, паралельне однієї утворює кругового конуса, є параболою. Так як тип прямих не змінюється при афінних перетвореннях, такий висновок можна зробити і для довільного конуса (4.50):
- Перетин конуса площиною, що перетинає всі його утворюють, є еліпс (рис. 4.45, а);
- Перетин конуса площиною, паралельною двом його утворюючим, є гіперболою (рис. 4.45, б);
- Перетин конуса площиною, паралельною одній з його утворюють, є параболою (рис.4.45, в).
6. Конічні перерізи можна сприйняти як еквівалентні визначення еліпса, гіперболи, параболи.
Як порахувати обсяг конуса
Співавтором цієї статті є Joseph Meyer, наш постійний співавтор. Постійні співавтори wikiHow працюють у тісній співпраці з нашими редакторами, щоб забезпечити максимальну точність та повноту статей.
Кількість переглядів цієї статті: 20 947.
Ви можете порахувати об'єм конуса дуже простим способом, для цього потрібно знати його висоту та радіус. Тоді вам просто треба підставити відповідні значення у формулу та обчислити обсяг. Формула виглядає так v = hπr 2/3. Ось кілька способів обчислення обсягу конуса:
Обчислення обсягу конуса
Знайдіть радіус. Якщо вам відомий радіус, приступайте відразу до наступного кроку. Якщо ви знаєте діаметр, розділіть його на 2 і отримаєте радіус. Якщо ви знаєте периметр кола, розділіть його на 2π і отримаєте діаметр. Якщо у вас немає жодних параметрів конуса, просто використовуйте лінійку для вимірювання найширшої частини кола, що лежить в основі конуса (це діаметр), і розділіть числове значення на 2 для визначення радіуса. Наприклад, радіус кола конуса 0.5 сантиметра.
Використовуйте радіус для того, щоб знайти площу кола, що лежить в основі конуса. Використовуйте формулу для кола: A = πr 2 . Підставте значення радіусу ".5" і отримайте A = π(.5) 2 , зведіть радіус квадрат і помножте на π для того, щоб отримати площу основи конуса. π(.5) 2 = .79 см 2
Знайдіть висоту конуса. Якщо ви її вже знаєте, запишіть. Якщо ні, використовуйте лінійку для вимірювання. Допустимо, висота конуса 1.5 сантиметра. Записуйте висоту конуса у тих самих одиницях, як і радіуса.