Що таке конус у геометрії? Визначення, формули, приклад задачі

Знання властивостей геометричних фігур дозволяє як вирішувати теоретичні завдання, але й виконувати різні практично важливі розрахунки. Однією з таких фігур, властивості якої будуть розглянуті у цій статті, є конус. Що таке конус, які види його бувають, як знайти його площу та обсяг? Нижче висвітлюються докладно всі ці питання.

Загальне визначення конуса у геометрії

Стереометрія, яка займається вивченням характеристик фігур у тривимірному просторі, пропонує наступну відповідь на питання, що таке конус: це фігура, поверхня якої утворена сукупністю прямих відрізків, що з'єднують певну точку простору з певною кривою на площині. Зазначена точка простору називається вершиною конуса, прямі відрізки - це генератрис фігури або її утворюють, а сама крива на площині - це директриса (напрямна). Під назва визначення підходить цілий клас фігур, найвідомішими з яких є круглий, еліптичний, параболічний і гіперболічний конуси. Еліптична фігура показана нижче на малюнку.

Директриса цього конуса є замкнутим еліпсом, який обмежує основу фігури. Генератриси будь-якого конуса всі разом утворюють конічну поверхню, яка називається бічною. Ці дві поверхні (основа та бічна) обмежують просторовий об'єм, який прийнято називати об'ємом конуса.

Круглий прямий конус - фігура обертання

Еліптичний конус, зображений на малюнку вище, не можна отримати в результаті обертання будь-якої плоскої фігури. Єдиним представником класу конусів, який можна утворити обертанням, є круглий прямий конус.Ця фігура показана нижче.

Видно, що її основа представляє ідеальне коло. Більше того, будь-який переріз бічної поверхні, паралельної основі, також буде кругом, але з меншим діаметром, ніж фігура в основі Помаранчевий трикутник, виділений усередині конуса, є прямокутним. катет AC є радіусом основи r. Катет AB – це висота фігури h. перпендикуляра, проведеного з вершини фігури B до кола, ця висота перетинає коло в його центрі. Нарешті, конус є прямим. конус, необхідно обертати його навколо сторони AB. наведемо відповідний малюнок.

Відмінність між двома фігурами очевидна: якщо їх основи є однаковими, то опущені з вершини висоти перетинають основи у різних точках. Перша фігура є прямою, друга – похилою.

Лінійні параметри круглого прямого конуса та кут при основі

Для однозначного завдання конуса ці три параметри є надлишковими, тобто розглянуту фігуру можна побудувати і розрахувати всі її властивості, знаючи лише два з трьох названих параметрів. висотою конуса:

Ця рівність є очевидною і не вимагає доказу (слід згадати про теорему Піфагора).

Задати конус можна не тільки за допомогою прямих відрізків r, h і g, але також використовуючи кутову міру між будь-якою з генератрис фігури та площиною основи. Визначимо цей кут буквою φ. Користуючись визначенням тригонометричних функцій, можна записати ряд формул, в яких кут φ пов'язує лінійні параметри. Запишемо основні з них:

Площа поверхні фігури

Розглядаючи питання, що таке конус, наведемо формулу, що дозволяє визначити площу його повної поверхні. Щоб зрозуміліше було, про що йтиметься, наведемо розгортку на площину розглянутої фігури.

Розгортка конуса на площині є дві фігури. Коло – це основа конуса, круговий сектор радіусом g – це бічна поверхня. Круговий сектор легко одержати, якщо взяти паперову конічну поверхню і розрізати її уздовж будь-якої генератриси g. Розгорнувши цю поверхню, ми отримаємо шуканий сектор.

Визначення площі So кола не становить проблем. Відповідний вираз наведено нижче:

Щодо кругового сектора, то необхідні його параметри для розрахунку площі Sb також відомі: радіус g і довжина дуги, що відповідає довжині кола розглянутого вище кола. Формула для розрахунку площі бічної поверхні конуса Sb має вигляд:

Таким чином, загальна площа фігури дорівнює:

Формула для обсягу

Знаючи, що таке круглий конус прямий, неважко записати формулу для його обсягу. Оскільки розглянуту фігуру можна вважати пірамідою з нескінченним числом бічних ребер, то для неї, як для будь-якої піраміди, можна обчислити за формулою:

Значення площі So ми вже наводили вище, тому формулою для обсягу прямого конуса з круглою основою буде наступна:

Розв'язання геометричної задачі

Відомо, що значення площі поверхні круглого конуса прямого дорівнює 300 см². Необхідно визначити радіус конуса, знаючи, що його генератриса дорівнює 15 см.

Запишемо рівність для площі та підставимо значення g = 15 см та S = 300 см², отримаємо:

Розділимо ліву та праву частини на число pi, отримаємо наступне квадратне рівняння:

Вирішуємо це рівняння через дискримінант, отримуємо:

Негативний корінь відповідає умові завдання, тому можна записати відповідь: заданий конус має радіус 4,82 див.

Конус

Конус - це тривимірний об'єкт, дещо схожий формою на піраміду. Насправді ви можете уявити собі конус як піраміду, яка має нескінченну кількість сторін (або, іншими словами, піраміду з круглою основою).

Однак конус не є багатогранником, просто тому, що він має круглу основу. Тобто основа конуса — це коло. Вона має одну вершину (вершину конуса), яка лежить на деякій відстані від основи та в іншій площині. У той час як піраміда має кінцеве число трикутних сторін, кожна з яких з'єднує одну сторону базового багатокутника з вершиною піраміди, конус має єдину, плавно вигнуту та конічну бічну поверхню, яка з'єднує круглу основу конуса з його вершиною.

На малюнку нижче, для прямого кругового конуса і похилого кругового конуса, (r) - радіус основи, а (h) - висота конуса. На малюнку конуса зліва \(s\) - похила висота конуса, тобто відстань між вершиною конуса та периметром основи конуса.

փ-апертура конуса - це максимальний кут, який може існувати між двома відрізками лінії, що з'єднують основу конуса з вершиною.

Конус: формули

Формула знаходження об'єму кругового конуса (правого чи зміщеного) значною мірою збігається з формулою знаходження обсягу піраміди. Обсяг \(V\) буде добутком площі підстави конуса \(S_<осн>і вертикальної висоти конуса (h), помноженої на одну третину. Ми можемо висловити це формально як:

Зверніть увагу, що це та сама формула, яка використовується для пошуку об'єму піраміди. Однак, оскільки основа конуса є коло, а площа кола обчислюється як \(\pi r^2\) , де \(r\) - радіус кола, то якщо ми підставимо у формулу вище площу кола отримаємо формулу обсягу конуса:

Часті питання:

↪ Конус - це геометричне тіло, яке має круглу основу і форму, що звужується до вершини. Основа конуса може бути будь-якої форми, але найчастіше це коло. Він відрізняється від циліндра тим, що його бічна поверхня звужується до однієї точки - вершини конуса.

↪ Конус складається з кількох основних елементів. Основа конуса - це коло, яке знаходиться в його нижній частині. Висота конуса - це відстань між основою та вершиною. Радіус основи - це відстань від центру основи до краю. Апофема – це лінія, що з'єднує вершину конуса із центром основи.

↪ Об'єм конуса можна обчислити за формулою \(V = (1/3) * π * r^2 * h\) , де r - радіус основи, h - висота конуса. Площа поверхні конуса обчислюється за формулою S = π * r * (r + l), де r – радіус основи, l – апофема (відстань від вершини до краю основи).