Чому дорівнює катет якщо відома гіпотенуза

Чому дорівнює катет якщо відома гіпотенуза



Гіпотенуза



Гіпотенуза - сторона у прямокутному трикутнику, що знаходиться навпроти прямого кута. Дві інші сторони – катети. У прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди довша за катети.



Теорема Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (формула: c² = a² + b², де c – гіпотенуза, a та b – катети). Найчастіше для обчислення гіпотенузи використовується саме ця теорема.



Як знайти гіпотенузу?



Як знайти гіпотенузу, знаючи катети?



Якщо відомі обидва катеты (дві інші сторони прямокутного трикутника), можна застосувати Теорему Піфагора.



Теорема Піфагора - у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Формула: c² = a² + b² (при c – гіпотенуза, a та b – катети).



Один катет дорівнює 3 см, інший - 4 см. Таким чином, а = 3, b = 4, підставляємо у формулу:



c² = 3² + 4² c² = 9 + 16 c² = 25 c = √25 c = 5.



Відповідь: довжина гіпотенузи 5 см (або х = 5).



Як знайти катет у прямокутному трикутнику



За тією ж формулою можна знайти і довжину одного невідомого катета, потрібно лише трохи змінити її:



Початкова формула: c² = a² + b² (при c - гіпотенуза, a і b - катети), і знайти катет можна за цією:



Наприклад: Один катет дорівнює 3 см, а гіпотенуза - 5 см. Потрібно дізнатися про довжину другого катета.



Застосовуємо формулу b = √c² - a² ⇔



b = √5² - 3² ⇔ b = √25 - 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.



Як знайти гіпотенузу, знаючи катет та кут?



Якщо є протилежний катет - теорема синусів



Якщо за умови завдання дано кут і протилежний катет, то шукаємо гіпотенузу за теоремою синусів: сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.



Примітка: гіпотенуза є тільки у прямокутному трикутнику, проте теорему синусів можна застосовувати до будь-яких трикутників (не тільки прямокутних).



Відома одна сторона трикутника 𝐴𝐶 = √2 та ∠β = 45º.



∠α = 90º (т.к. ми шукаємо гіпотенузу, то другий кут у трикутнику прямий, отже має 90º).



Оскільки у всіх трикутниках сума всіх кутів дорівнює 180º, то можемо дізнатися ∠c, що залишився.



Значить: ∠c = 180º - (90º + 45º) = 45º.



Підставляємо у формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) відомі:



BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º



У таблиці ви знайдете значення для синусу:



За умови завдання нам дано: 𝐴𝐶 = √2, отже:



BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º



Підставляємо значення синуса з таблиці:



BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудемо на час про катет AB) ⇔



BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гіпотенуза дорівнює 2)



Якщо хочете обчислити катет, знаючи вже інший катет і гіпотенузу:



Відповідь: гіпотенуза BC дорівнює 2 см, а катет AB √2 см.



Якщо є прилеглий катет — по косінусу



Якщо за умови завдання дано кут і прилеглий катет, то шукаємо гіпотенузу за косинусом (у прямокутному трикутнику, косинус гострого кута (cos) - це відношення прилеглого катета (b) до гіпотенузи(c), таким чином cos a = b/c, з цього виходить c = b / cos α) .



Т. е. гіпотенуза (c) = прилеглий катет (b) / косинус кута або c = b / cos α.



Відома одна сторона трикутника AB = 1 і ∠β = 45 º.



Пам'ятаємо, що гіпотенуза (c) = прилеглий катет (b) / косинус кута або c = b / cos α.



Дивимося в таблиці, до чого дорівнює cos 45º.



Відповідь: гіпотенуза BC дорівнює √2 см.



Як знайти гіпотенузу рівнобедреного трикутника



У рівнобедреному трикутнику є гіпотенуза лише тому випадку, якщо він одночасно і прямокутний, т.к. гіпотенуза є тільки у прямокутних трикутниках (і його основа буде гіпотенузою).



Щоб знайти таку гіпотенузу, потрібно будь-який із двох однакових катетів звести в квадрат, помножити на 2 і порахувати квадратний корінь: b = √2a² (де b — гіпотенуза, а — катет). Це наслідок теореми Піфагора.



Катет рівнобедреного трикутника дорівнює 7см. Потрібно знайти гіпотенузу.



Формула b = √2a². Підставляємо:



b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899



Якщо ви забудете цю формулу, можна використовувати вже знайому формулу Піфагора для гіпотенузи (c² = a² + b²):



Відповідь: гіпотенуза дорівнює 9.899.



Як знайти сторони прямокутного трикутника



Щоб порахувати сторони прямокутного трикутника скористайтесь нашим дуже зручним онлайн калькулятором:



Онлайн калькулятор



Щоб обчислити довжини сторін прямокутного трикутника вам потрібно знати наступні параметри (або):





  • для гіпотенузи (з):


    • довжини катетів a і b


    • довжину катета (a або b) і гострий кут, що прилягає до нього (β або α, відповідно)


    • довжину катета (a або b) і гострий кут, що протилежить до нього (α або β, відповідно)




    • довжину гіпотенузи (з) та довжину одного з катетів


    • довжину гіпотенузи (з) і прилеглий до шуканого катету (a або b) гострий кут (β або α, відповідно)


    • довжину гіпотенузи (з) і протилежний до шуканого катету (a або b) гострий кут (α або β, відповідно)


    • довжину одного з катетів (a або b) і гострий кут, що прилягає до нього (β або α, відповідно)


    • довжину одного з катетів (a або b) і гострий кут, що протилежить до нього (α або β, відповідно)




    Введіть їх у відповідні поля та отримайте результат.



    Знайти гіпотенузу (c)



    Знайти гіпотенузу за двома катетами



    Чому дорівнює гіпотенуза (сторона з) якщо відомі обидва катеты (сторони a і b)?



    Формула


    отже: c = √ a² + b²



    приклад


    Для прикладу порахуємо чому дорівнює гіпотенуза прямокутного трикутника, якщо катет a = 3 см, а катет b = 4 см:



    c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см



    Знайти гіпотенузу по катету і гострому куту, що прилягає до нього.



    Чому дорівнює гіпотенуза (сторона з) якщо відомий один з катетів (a або b) і прилеглий до нього кут?



    Формула


    приклад


    Для прикладу порахуємо чому дорівнює гіпотенуза прямокутного трикутника якщо катет a = 2 см, а ∠β = 60°, що прилягає до нього:



    c = 2 / cos (60) = 2 / 0.5 = 4 см



    Знайти гіпотенузу по катету і гострому куту, що протилежить до нього.



    Катет (a або b ) =
    Протилежний кут (α або β ) =
    Гіпотенуза c =

    Чому дорівнює гіпотенуза (сторона з) якщо відомий один з катетів (a або b) і протилежний до нього кут?



    Формула


    приклад


    Для прикладу вважаємо, чому дорівнює гіпотенуза прямокутного трикутника якщо катет a = 2 см, а протилежний до нього ∠α = 30°:



    c = 2 / sin (30) = 2 / 0.5 = 4 см



    Знайти гіпотенузу з двох кутів



    Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника тільки двома гострими кутами неможливо.



    Знайти катет



    Знайти катет з гіпотенузи та катету



    Чому дорівнює один із катетів прямокутного трикутника якщо відомі гіпотенуза та другий катет?



    Формула


    приклад


    Наприклад порахуємо чому дорівнює катет a прямокутного трикутника якщо гіпотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:



    a = √ 5² - 4² = √ 25 - 16 = √ 9 = 3 см



    Знайти катет з гіпотенузи і гострого кута, що прилягає до нього.



    Чому дорівнює один із катетів прямокутного трикутника якщо відомі гіпотенуза і гострий кут, що прилягає до шуканого катета?



    Формула


    приклад


    Наприклад порахуємо чому дорівнює катет b прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:



    b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см



    Знайти катет з гіпотенузи і протилежного до нього гострого кута



    Чому дорівнює один з катетів прямокутного трикутника якщо відомі гіпотенуза і гострий кут, що протилежить до шуканого катета?



    Формула


    приклад


    Наприклад порахуємо чому дорівнює катет a прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:



    a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см



    Знайти катет по другому катету і гострому куту, що прилягає до нього.



    Чому дорівнює один із катетів прямокутного трикутника, якщо відомий інший катет і гострий кут, що прилягає до нього?



    Формула


    приклад


    Наприклад порахуємо чому дорівнює катет b прямокутного трикутника якщо катет a = 2 см, а ∠β = 45°:



    b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см



    Знайти катет по другому катету і гострому куту, що протилежить до нього.



    Чому дорівнює один із катетів прямокутного трикутника, якщо відомий інший катет і протилежний до нього гострий кут?



    Формула


    приклад


    Наприклад порахуємо чому дорівнює катет a прямокутного трикутника, якщо катет b = 3 см, а ∠β = 35°:



    a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см

Related

Категорії