Багатокутник та його елементи. Випуклі та неопуклі багатокутники. Сума кутів опуклого багатокутника

- Дорогі хлопці! Я сподіваюся, що цей урок пройде цікаво, з великою користю для всіх. Дуже хочу, щоб ті, хто ще байдужий до цариці всіх наук, з нашого уроку пішов із глибоким переконанням, що геометрія – цікавий та потрібний предмет.

Французький письменник ХІХ століття Анатолій Франс одного разу зауважив: “Вчитися можна лише весело… Щоб перетравлювати знання, треба поглинати їх із апетитом”.

- Давайте послухаємося поради письменника на сьогоднішньому уроці: будьте активні, уважні, поглинайте з великим бажанням знання, які стануть вам у нагоді в подальшому житті.

3. Актуалізація опорних знань.

Які геометричні постаті нами вже вивчені? (трикутники, чотирикутники, коло)

Які їхні елементи? (вершини, сторони, кути)

• Яка постать називається трикутником?

• Яка постать називається чотирикутником? (Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовно з'єднують)

• Які вершини чотирикутника називаються сусідніми, які є протилежними? (Вершини чотирьох косинця називаються сусідніми вершинами, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Вершини, що не є сусідніми, називаються протилежними вершинами.)



• А які вершини називаються протилежними до трикутника?



• Що таке діагоналі чотирикутника? (Діагональ – відрізок, що з'єднує протилежні вершини)



• Які сторони чотирикутника називають сусідніми? Які сторони називаються протилежними? (Сусідні сторони - сторони чотирикутника, що виходять із однієї вершини.Протилежні сторони - сторони чотирикутника, які мають загального кінця.)



• А які вершини називаються протилежними до трикутника?



• Що таке периметр трикутника?



• А периметр чотирикутника? (Сума всіх сторін чотирикутника.)



• Як перевірити, чи з чотирьох даних відрізків можна побудувати чотирикутник?



• Чому дорівнює сума внутрішніх кутів трикутника?



• А чому дорівнює сума внутрішніх кутів чотирикутника? (Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360)



• Чи можуть усі кути чотирикутника бути тупими? гострими? прямими? А в трикутнику?

4. Вивчення нового матеріалу.

- Серед безлічі різних геометричних фігур на площині виділяється велика родина багатокутників.

Назви геометричних постатей мають цілком певний зміст. Придивіться уважно до слова "багатокутник", і скажіть, з яких частин воно складається?

- Слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів".

Підставте слово “багатокутник” замість частини “багато” конкретне число, наприклад 5. Що отримали?

- Правильно! Ви отримаєте П'ятикутник. Або 6. Тоді – шестикутник. Зауважте, скільки кутів, стільки й сторін, тому ці фігури цілком можна було б назвати багатосторонниками.

- на малюнку геометричні фігури. Використовуючи малюнок, назвіть ці фігури.

(восьмикутник, шестикутник, п'ятикутник, чотирикутник, трикутник)

- Яким найменшим числом можна замінити багато в багатокутнику? (Відповідь: 3)

– Давайте спробуємо визначити, що таке ламана? (Ломана - геометрична фігура, що складається з відрізків, послідовно з'єднаних своїми кінцями.)

- Хлопці, а якщо перша та остання точки ламаної збігаються, то як називається така ламана (називається замкненою)?

- Маючи всю необхідну інформацію, давайте спробуємо самі сформулювати, що таке багатокутник?

- Правильно! Фігура, обмежена простою замкненою ламаною, називається багатокутником.

• Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника ,



• боку ламаної - сторонами багатокутника ,



• а кути, утворені сусідніми сторонами, - кутами багатокутника .



• Точки багатокутника, що не належать його сторонам, називаються внутрішніми.



• Периметром багатокутника називається сума довжин усіх його сторін.



• Багатокутник, у якого n кутів називається n - косинцем .



• Багатокутник називається опуклим якщо разом з будь-якими двома своїми точками він містить і з'єднує їх відрізок.

Будь-який трикутник опуклий. Серед багатокутників, з числом кутів більшим трьох, можуть бути опуклі та невипуклі.

- У чому відмінність даних багатокутників?

Діагоналлю багатокутник називається відрізок, що з'єднує його несусідні вершини. Підрахунок діагоналей

• Скільки діагоналей виходить із однієї вершини чотирикутника, п'ятикутника, шестикутника?



• Давайте порівняємо їх із кількістю кутів. Що ми бачимо?



• Яку формулу ви б записали?



• Правильно, n-3.



• Давайте перевіримо, що це відбувається і для трикутника. 3-3 = 0.



• А скільки вершин у n-кутника?



• Тоді, може, потрібно помножити кількість кутів n на кількість діагоналей, які виходять з однієї вершини n-3?



• Добре! Але при цьому ми вважали кожну діагональ двічі. Як виправити цю формулу?



• Тому, твір n*(n-3) ділять на два.

Діагоналей немає у трикутника на площині і у тетраедра у просторі, оскільки всі вершини цих фігур попарно пов'язані сторонами (ребрами).

Кількість діагоналей N у багатокутника легко обчислити за такою формулою:

N = n · (n - 3) / 2, - запишемо формулу в зошиті, і виділимо її.

де n - Число вершин багатокутника. За цією формулою неважко знайти, що

• у трикутника - 0 діагоналей



• у прямокутника - 2 діагоналі



• у п'ятикутника - 5 діагоналей



• у шестикутника - 9 діагоналей



• у восьмикутника - 20 діагоналей



• у 12-кутника - 54 діагоналі



• у 24-кутника - 252 діагоналі

Дослідницька робота з груп

Кожна група працює за навчально-дослідницькою картою.

Чому дорівнює сума кутів опуклого п'ятикутника?

Як залежить сума кутів опуклого n-кутника від числа кутів

багатокутника та від числа трикутників, на які він розбивається

діагоналями, проведеними із однієї вершини?

1 проба-180 0 2 проба-360 0 3 проба-540 0 4 проба-720 0

– Що ми бачимо? (кількість трикутників (n-2)).

- Давайте заповнимо таблицю.