Таблиця ступенів з алгебри

На цій сторінці розміщена таблиця ступенів від 2 до 10 для натуральних чисел від 1 до 20. Приклад використання: знаходимо в таблиці число 9 (ліворуч), потім у другому стовпчику бачимо квадрат числа, що дорівнює 81. У третьому стовпчику таблиці значення кубів. Також дивіться: таблиця квадратів, таблиця коренів.

Зведення в ступінь онлайн

Введіть число та ступінь, потім натисніть =.

Таблиця ступенів

Властивості ступеня – 2 частини

Таблиця основних ступенів з алгебри в компактному вигляді (картинка, зручно, щоб роздрукувати), зверху числа, збоку ступеня:

(можна відкрити у новому вікні, натиснувши на картинку)

Повну математичну таблицю можна скачати безкоштовно, просто зберігши картинку вище за допомогою правої кнопки миші.

Щоб додати сторінку до закладок, натисніть Ctrl+D.

Якщо сторінка допомогла, збережіть її та поділіться посиланням з друзями:

Дії зі ступенями: формули та приклади

У математиці передбачено різні операції для чисел, величин, функцій. У завданнях нерідко можна зустріти приклади, де певне значення необхідно звести певний ступінь. Подібні дії мають ряд особливостей та властивостей, які важливо враховувати для спрощення обчислень та виключення помилок у розрахунках. Почати вивчення теми слід із запровадження ключового поняття.

Ступенем називають операцію в математиці, спрямовану на зведення числа у певний ступінь, або показник.

Складові елементи ступеня довільного числового значення:

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Основа ступеня є числом зі знаком плюсу чи мінуса, яке необхідно звести у заданий ступінь.

Показник ступеня є деяким числом, яке уточнює скільки разів необхідно виконати множення підстави на себе.

Показник ступеня вибирають з будь-якої числової множини:

При позначенні ступеня використовують спеціальний запис. Наприклад, в \(2^3\) основа дорівнює 2 і зводиться в ступінь, відповідну 3. За підсумками обчислення ступеня отримують відмінне від первісного значення, розраховане шляхом множення основи на себе таку кількість разів, яка зазначена в показнику.

Властивості ступенів

Розглянемо властивості, характерні для ступенів із натуральним показником:

• добуток числового значення на себе протягом декількох разів дає результат у вигляді ступеня з показником, рівним підсумовування показників, тобто:
• приватна пара ступенів, які записані з ідентичними підставами, відповідає ступеню з показником, що обчислюється за допомогою віднімання показників: \(\frac= a^<(m – n)>;\)
• у процесі зведення ступеня в ступінь з рівними основами одержують ступінь, показник якого відповідає результату множення показників, тобто: ((a^m)^n = a^<(m – n)>;\)
• якщо помножити ступінь на твір з ідентичним знову, то вийде добуток ступенів, які містять показник, що обчислюється як добуток показників: \(a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m;\)
• приватне від розподілу ступеня добуток за рівних значеннях снования дає у результаті приватне ступенів з показником, розрахованим під час віднімання показників, тобто: \(\frac= (\frac)^m.\)

У разі ступенів, які мають цілий показник, передбачено кілька специфічних особливостей:

• результатом зведення чисельного значення нульовий ступінь є 1, наприклад, \(a^0 = 1\) ;
• якщо звести число у ступінь зі знаком мінуса, то результатом розрахунків стане зворотне число, зведене на позитивний ступінь, тобто: (a^= \frac\) .

У завданнях підвищеного рівня складності трапляються приклади обчислення ступенів з раціональними показниками. Спростити подібні розрахунки зручно за допомогою характерних для даного типу статечних виразів властивостей:

Дії зі ступенями

Зі ступенями роблять різні математичні дії. При виконанні розрахунків необхідно враховувати принципи та правила обчислень. Розглянемо основні види процесів. Якщо ступеня мають ідентичні підстави, то добуток таких ступенів обчислюють шляхом складання показників та запису підстави без змін, тобто:

Знайти приватне від поділу ступенів, що володіють підставами, що не відрізняються, допустимо за допомогою запису аналогічної основи і віднімання показників за формулою:

Ступінь можна зводити на будь-який ступінь. При цьому необхідно переписати основу без змін та виконати множення вихідних показників. Озвучена дія зручно подати у вигляді математичного співвідношення:

Твір з певними множниками також можна звести в ступінь. У процесі обчислень цього виразу потрібно послідовно звести в заданий ступінь кожен із множників, тобто:

\((a\cdot b\cdot c)^m=a^m\cdot b^m\cdot c^m\)

При обчисленні ступеня приватного чи дробового числа, потрібно виконати зведення в наявний ступінь чисельника та знаменника за допомогою універсальної формули:

Таблиця

При виконанні завдань на зведення у ступінь невеликих числових значень допустимо скористатися табличною формою, де подано відповідні результати розрахунків:

Приклади розв'язання задач

Застосовуючи вивчені властивості та принципи математичних дій зі ступенями, потрібно обчислити результат наступного виразу: \(\frac \cdot 8^>>\)

На першому етапі необхідно проаналізувати заданий вираз. Зауважимо, що у чисельнику та знаменнику дробу записані ступеня. Зручно привести ступені над дробовою рисою до однієї основи. З цією метою виконаємо відповідні перетворення:

Після нескладних математичних дій вдалося представити початковий вираз у форматі, що підходить для подальших обчислень:

Є деякий твір (27 \ cdot 3 ^ n \) . Необхідно обчислити, чому дорівнює значення записаного виразу.

Зауважимо, що числовий множник, що дорівнює 27, допустимо подати у вигляді ступеня, а саме:

В результаті вдалося перетворити вихідний вираз на множення ступенів, які не відрізняються на підставах. Скористаємося правилом обчислення добутку подібних значень, що передбачає запис підстави без змін та складання показників. Виконаємо відповідні розрахунки та запишемо остаточну відповідь:

\(27 \cdot 3^n = 3^3 \cdot 3^n = 3^\)

Необхідно знайти, чому відповідає значення даного виразу: \(\frac>\cdot 5^>\)

За аналогією з попередніми прикладами почнемо обчислення з аналізу представленого запису. Зауважимо, що ступеня за винятком однієї містять підстави, рівні 5. Привести всі ступені до однакової основи нескладно шляхом наступних перетворень:

Далі скористаємося правилом поділу та множення ступенів. В результаті наступних обчислень основа залишається без змін, а необхідні дії додавання та віднімання потрібно виконати з показниками. Запишемо відповідні процедури та сформулюємо остаточну відповідь: