Куб. Формули, ознаки та властивості куба

Куб (гексаедр) - це тривимірна фігура, яка складається з шести динакових квадратів так, що кожен квадрат повністю стикається своїми чотирма сторонами до інших чотирьох квадратів під прямим кутом. Куб є правильним багатогранником, у якого грані утворені із квадратів. Також кубом можна назвати прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

- кожна грань куба перетинається з чотирма іншими гранями під прямим кутом та паралельна шостій грані;

- Грані мають однакову площу, яку можна знайти, використовуючи формули для обчислення площі квадрата.

Визначення. Вершина куба - це найвіддаленіша від центру куба точка, яка лежить на перетині трьох граней куба.

Визначення. Вісь куба ( i ) - це пряма, що проходить через центр куба та центри двох паралельних граней куба.

Визначення. Діагональ куба (d ₁) - відрізок, який з'єднує протилежні вершини куба та проходить через центр куба.

Визначення. Діагональ грані куба (d ₂) -відрізок, який з'єднує протилежні кути грані куба та проходить через центр грані куба.

Визначення. Сферою вписаною в куб називається сфера, центр якої збігається з центром куба та яка стосується центрів граней куба.

Визначення. Сферою описаної навколо куба називається сфера, центр якої збігається з центром куба і яка стикається з вісьмома вершинами куба.

Властивості куба

1. У куб можна вписати тетраедр так, щоб усі чотири вершини тетраедра лежали на чотирьох вершинах куба, а всі шість ребер тетраедра лежатимуть на шести гранях куба і ребра дорівнюватимуть діагоналі грані куба.

2. У куб можна вписати правильний шестикутник так, що всі шість вершин лежать у центрах граней куба.

Координати вершин куба

1. Координати вершин куба зі стороною a та вершиною D на початку декартової системи координат так, що ребра цієї вершини лежать на осях координат:

A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0),
E(a, 0, a), F(a, a, a), G(0, a, a), H(0, 0, a).

2. Координати вершин куба з довжиною сторони 2 a , у якого центр куба знаходиться на початку декартової системи координат так, що ребра куба паралельні осям координат:

A(a, -a, -a), B(a, a, -a), C(-a, a, -a), D(-a, -a, -a),
E(a, - a, a), F(a, a, a), G(-a, a, a), H(-a, - a, a).

Перетин куба площиною

1. Якщо перетнути куб площиною, що проходить через центр куба і центри двох протилежних граней, то в перерізі буде квадрат, довжина сторони якого дорівнює довжині ребра куба. Ця площина ділить куб два рівних прямокутних паралелепіпеда.

2. Якщо перетнути куб з ребром a площиною, що проходить через центр куба і два паралельні ребра, то в перерізі буде прямокутник зі сторонами a і a 2 , площею перерізу a 2 √ 2 .

3.Якщо перетнути куб площиною, що проходить через центр і середини шести граней, то в перерізі буде правильний шестикутник зі стороною a 2 /2, площею перерізу a 2 (3 3 )/4. У куба одна з діагоналей (FC) кожної межі, що перетинаються, перпендикулярна стороні шестикутника.

4. Якщо перетнути куб площиною, що проходить через три вершини куба, то в перерізі буде правильний трикутник зі стороною a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 3 /2 та об'ємом більшої частини - 5 a 3 /6 та меншою - a 3 /6 . Одна з діагоналей куба (EC) перпендикулярна до площини перерізу та проходить через центр трикутника (M) і ділиться площиною щодо MC:EM = 2:1.