Основне тригонометричне тотожність

Це останній і найголовніший урок, необхідний для вирішення завдань B11. Ми вже знаємо, як переводити кути з радіанної міри в градусну (див. урок «Радіанний і градусний захід кута»), а також вміємо визначати знак тригонометричної функції, орієнтуючись на координатні чверті. (Див. урок «Знаки тригонометричних функцій»).

Справа залишилася за малим: обчислити значення самої функції - те число, яке записується у відповідь. Тут на допомогу приходить основне тригонометричне тотожність.

. Для будь-якого кута α правильне твердження:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ця формула пов'язує синус і косинус одного кута. Тепер, знаючи синус, ми легко знайдемо косинус — і навпаки.

Зверніть увагу на знак «±» перед корінням. Річ у тім, що з основного тригонометричного тотожності незрозуміло, яким був вихідний синус і косинус: позитивним чи негативним. ).

Саме тому у всіх завданнях B11, які зустрічаються в ЄДІ з математики, обов'язково є додаткові умови, які допомагають позбавитися невизначеності зі знаками.

Уважний читач напевно запитає: «А як бути з тангенсом і котангенсом?» Безпосередньо вирахувати ці функції з наведених вище формул не можна.

Для будь-якого кута α можна переписати основне тригонометричне тотожність таким чином:

Ці рівняння легко виводяться з основної тотожності - досить розділити обидві сторони (для отримання тангенсу) (для котангенсу).

Розглянемо це на конкретних прикладах. Нижче наведені справжні завдання B11, які взяті із пробних варіантів ЄДІ з математики 2012 року.

Завдання. Знайдіть sin α якщо відомо наступне:

Нам відомий косинус, але невідомий синус. Основне тригонометричне тотожність (у «чистому» вигляді) пов'язує саме ці функції, тому працюватимемо з ним. Маємо:

Щоб розв'язати завдання залишилося знайти знак синуса. Оскільки кут то градусною мірою це записується так:

Отже, кут α лежить у ІІ координатній чверті – всі синуси там позитивні. Тому

Завдання. Знайдіть cos α якщо відомо наступне:

Отже, нам відомий синус, а треба знайти косинус. Обидві ці функції є переважно тригонометричному тотожності. Підставляємо:

Залишилося розібратися зі знаком перед дробом. Що вибрати: плюс чи мінус? За умовою, належить проміжку Переведемо кути з радіанної міри в градусну — отримаємо:

Очевидно, це ІІІ координатна чверть, де всі косинуси негативні. Тому

Завдання. Знайдіть tg α якщо відомо наступне:

Тангенс і косинус пов'язані рівнянням, що випливає з основного тригонометричного тотожності:

Отримуємо: tg = ±3. Знак тангенсу визначаємо Відомо, Переведемо кути з радіанної міри в градусну - отримаємо

Очевидно, це IV координатна чверть, де всі тангенси є негативними. Тому

Завдання. Знайдіть cos α якщо відомо наступне:

Знову відомий синус і невідомий косинус. Запишемо основну тригонометричну тотожність:

Знак визначаємо по кутку. Маємо: Переведемо кути із градусної міри в радіальну: це IV координатна чверть, косинуси там позитивні. Отже,

Завдання. Знайдіть sin α якщо відомо наступне:

Запишемо формулу, яка випливає з основного тригонометричного тотожності і безпосередньо пов'язує синус і котангенс:

Звідси отримуємо, що sin 2 = 1/25, тобто. sin α = ±1/5 = ±0,2. Відомо, що кут градусною мірою це записується так: I координатна чверть.

Отже, кут знаходиться в І координатній чверті - всі тригонометричні функції там позитивні, тому

• ЄДІ-2025
• Частина 1
• 1. Рівняння
• 2. Можливість
• 3. Планіметрія
• 4. Тригонометрія
• 5. Стереометрія
• 6. Похідні
• 7. Формули
• 8. Текстові завдання
• 11. Екстремуми функцій
• Частина 2
• 12. Тригонометричні рівняння
• 13. Складна стереометрія
• 14. Складні нерівності
• 15. Економічні завдання
• 16. Складна планіметрія
• 17. Завдання з параметром
• 18. Теорія чисел
• Архів
• X1. Рух та час
• X2. Графіки
• X3. Площі
• X4. Стереометрія
• X5. Економіка
• Про іспит
• Поради
• 2014
• 2015
• 2016
• 2017
• 2018
• 2019
• Школярам
• Студентам
• Реклама
• Про мене

• © 2010—2024 ІП Бердов Павло Миколайович
  ІПН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При використанні матеріалів посилання на сайт обов'язкове
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; пошта: [email protected]
• Карта сайту

Тригонометричні тотожності

Тригонометричні тотожності являють собою рівності, що встановлюють зв'язок між такими величинами, як синус, косинус, тангенс і котангенс певного кута, за допомогою якої визначають будь-яку з перерахованих функцій відомої іншої функції.

Запишемо головні тригонометричні тотожності з параметрами:

Існують закономірності, що визначають парні та непарні функції у тригонометрії:

Формула зв'язку синуса та косинуса

Зв'язок синуса та косинуса можна описати за допомогою наступної формули:

Виходячи із записаного рівняння, можна довести рівність суми синуса у квадраті та косинуса у квадраті однакового кута одиниці. Завдяки цій формулі істотно спрощується завдання пошуку синуса будь-якого кута при його відомому косинусі або навпаки.

Така тотожність є корисною у вирішенні завдань з тригонометрії та основою для доказу багатьох формул. З його допомогою можна виконувати перетворення виразів будь-якої складності шляхом заміни суми квадратів синуса та косинуса певного кута на одиницю. Допустимі і зворотні перетворення.

Формули наведення тригонометричних функцій

Запишемо найважливіші формули приведення тригонометричних функцій для кутів \alpha, значення яких відповідають інтервалу від 0 до 90 градусів:

Залежності між тангенсом та косинусом, котангенсом та синусом

Визначити функції тангенсу та котангенсу можна, якщо відомий синус або косинус. Зробити це можна за допомогою тотожностей:

Як приклад розглянемо тотожність:

Тут рівність справедлива лише тоді, коли кути z, де z визначається як якесь ціле число.

Формула, що описує зв'язок між тангенсом і котангенсом, має такий вигляд:

. Інакше неможливо визначити або котангенс, або тангенс.

Виходячи з розглянутого раніше матеріалу, зробимо висновок, що:

Тангенс та косинус, котангенс та синус можна пов'язати між собою за допомогою наступних тотожностей:

Потрібна допомога?

Основне тригонометричне тотожність

Під час навчання у школі завдання із синусами, косинусами, тангенсами котангенсами зустрічаються чи не на кожному кроці. При цьому вони вважаються складними. Однак вирішувати їх можна буквально за дві секунди, якщо знати основне тригонометричне тотожність.Разом з репетитором з математики розуміємося, що воно собою являє.

Що таке основне тригонометричне тотожність у геометрії

Основне тригонометричне тотожність - це зв'язок синуса, косинуса, тангенса і котангенса одного кута, виражена у формулах. Воно допомагає знайти одне із значень, якщо відомо інше.

Корисна інформація про основну тригонометричну тотожність

Формула основного тригонометричного тотожності

Основне тригонометричне тотожність можна назвати наслідком з теореми Піфагора. Тому «головними» значеннями будуть лише синус та косинус. Решта – лише з того, як вони ставляться друг до друга. Просто запам'ятайте, що сума квадратів синуса та косинуса завжди дорівнює одиниці. Формула виглядає так:

Знаходження синуса через основне тригонометричне тотожність

За допомогою основного тригонометричного тотожності можна легко знайти значення синусу. Достатньо знати, чому дорівнює косинус. У такому разі потрібно скласти просте рівняння:

Далі можна йти стандартним шляхом. Переносимо косинус (який буде числом) у праву частину рівняння та віднімаємо з одиниці. Отриманий результат – і синус. Формула виглядає так:

Знаходження косинуса через основне тригонометричне тотожність

Так само можна знайти косинус. При цьому рівняння буде таким самим простим. Потрібно просто поміняти місцями значення синуса та косинуса. Формула виглядає так:

Інші важливі для підготовки до ОДЕ та ЄДІ тригонометричні тотожності

В основному тригонометричному тотожності використовуються тільки синус та косинус. Однак у завданнях ОДЕ та ЄДІ нерідко потрібно знайти їх співвідношення – тангенс та котангенс.

Зв'язок між тангенсом та котангенсом

Ще із середньої школи відомо, що тангенс – це відношення синуса до косінуса, а котангенс – косинуса до синуса. Але для вирішення складніших завдань слід запам'ятати ще одне правило. Твір тангенсу та котангенсу завжди дорівнює одиниці.

Формула дуже проста:

Наслідки з основної тригонометричної тотожності

Завдання в ОДЕ та ЄДІ здадуться набагато простішими, якщо знати кілька наслідків з основної тригонометричної тотожності. Наприклад, варто запам'ятати, що сума квадрата тангенсу та одиниці завжди дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса.

Формула виглядає так:

Виходячи з цього рівняння можна знайти одне значення, якщо відомо друге. Наприклад, якщо потрібен тангенс, слід перенести одиницю в праву сторону. Вийде наступне:

З отриманого результату залишиться лише витягти корінь.

Схожа ситуація з косинус. При відомому тангенсі його можна знайти за формулою:

Аналогічне правило є з котангенсом. Сума його квадрата та одиниці завжди дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса:

ctg 2 a + 1 = 1/sin 2 a

Використовується ця формула як і, як попередня. Змінюються лише значення: тангенс на котангенс, а косинус – на синус.

Популярні запитання та відповіді

Відповідає Юліана Журавльова, репетитор з математики, спеціаліст з підготовки до ОДЕ та ЄДІ:

Як підготуватися до самостійної роботи тему «Основна тригонометрична тотожність»?

Важливо розуміти, що ця тема живе не у «вакуумі» і все, що пов'язано з тригонометрією, починається з синусів і косінусів. Тому насамперед варто осмислити ці поняття.

Іноді основними тригонометричними тотожностями називають цілу групу формул, але всіх їх поєднує одна думка: якщо я знаю одну функцію, то за її допомогою можу знайти іншу. І щоб успішно здати самостійну, достатньо знати теорему Піфагора, визначення тригонометричних функцій та самі основні тригонометричні тотожності.

Для 10-11 класу ще додається потреба вміти визначати знак функції.

Чому основне тригонометричне тотожність вивчають у 8-10 класах?

Щоб підвести учня до поняття синуса і косинуса, необхідно розповісти, що таке кут, що є трикутниками, та й інші фігури. Власне, це є теми 7 класу. Коли нас просто знайомлять із законами, за якими «живуть» постаті. Ті самі знайомі багатьом аксіоми геометрії.

У яких завданнях ЄДІ та ОДЕ знадобиться вміння застосовувати основне тригонометричне тотожність?

Якщо коротко, то майже у всіх. Гіпотетично, тригонометрія може зустрітися у завданнях №1, 2, 3 – це завдання з геометрії. Далі завдання №9 — звані завдання з прикладним змістом. Завдання №11 - це графік функції, і може, звичайно, зустрітися функція тригонометрична. Завдання №12 - це дослідження функції і, знову-таки, там може бути синус або косинус.

Існують завдання, в яких тригонометрія зустрінеться точно.Це завдання №7 — перетворення виразів та завдання №13 із другої частини — розв'язання рівнянь. Свого роду вже стало традицією, що у цих завданнях обов'язково тригонометрія. Ще завдання №14 і №17 другої частини обійтися без тригонометрії навряд чи вийде. Це геометричні завдання, причому підвищеної складності.

Практично ж тригонометрія зустрічається в задачі для трикутники, нерідко прямокутні. Це або знаходження сторін або обчислення площі. Це номери №15 і №17 першої частини, дуже рідко завдання №23 і №25 другої частини.