Легкий спосіб вирішувати завдання про стрілки годинника

Якось багато років тому один немолодий професор поставив мені завдання про перестановку стрілок годинника. Точного формулювання за давністю років я не пам'ятаю, але пошук в інтернеті привів мене до «Цікавої алгебри» Я. І. Перельмана, яка була вперше опублікована 1933 року:

Візьмемо положення стрілок о 12 годині. Якби в цьому становищі велика і мала стрілки обмінялися місцями, вони дали б все ж таки правильні показання. Але в інші моменти, — наприклад, о 6 годині, — взаємний обмін стрілок привів би до абсурду, до положення, якого на правильному годиннику бути не може: хвилинна стрілка не може стояти на 6, коли годинникова показує 12. Виникає питання: коли і як часто стрілки годинника займають такі положення, що заміна однією іншою дає нове положення, теж можливе на правильному годиннику?

Що цікаво, це формулювання сягає книги Олександра Мошковського «Альберт Ейнштейн: бесіди з Ейнштейном про теорію відносності та загальну систему світу», опублікованій 1921 року німецькою мовою, і вже наступного року (!) перекладеної російською мовою (і, судячи) за каталогом РДБ, з того часу її і не перевидавали;

Мошковський, відвідуючи Ейнштейна під час хвороби, запропонував йому це завдання для розваги. Той зазначив, що завдання цікаве і не надто просте, проте, на жаль, задоволення від нього не триватиме довго, бо шлях до вирішення вже зрозумілий. Накресливши умови завдання на аркуші паперу, Ейнштейн склав діофантове рівняння і згодом вирішив його.

На жаль, більше жодних подробиць у книзі Мошковського не згадується, і як могло б виглядати це рівняння, ми можемо лише припускати.Рішення, наведене у книзі Перельмана, загалом виглядає приблизно так само, і досить громіздко.

Нехай одне з необхідних положень стрілок спостерігалося тоді, коли стрілка годинника відійшла від цифри 12 на поділів, а хвилинна — на поділів. Так як годинникова стрілка проходить 60 поділів за 12 годин, тобто 5 поділів на годину, то поділ вона пройшла за годину. Інакше кажучи, після того, як годинник показував 12, минуло годин. Хвилинна стрілка пройшла поділів за хвилин, тобто за години. Інакше кажучи, цифру 12-хвилинна стрілка пройшла годин тому, або через годину після того, як обидві стрілки були на дванадцятій. Це число є цілим (від нуля до 11), оскільки воно показує, скільки повних годин минуло після дванадцятої. Коли стрілки обміняються місцями, ми знайдемо аналогічно, що з дванадцятої години до часу, що показується стрілками, минуло повного годинника. Це число є цілим (від нуля до 11).

Маємо систему рівнянь:

де і - цілі числа, які можуть змінюватися від 0 до 11. З цієї системи знаходимо:

Даючи їм значення від 0 до 11, ми визначимо всі необхідні положення стрілок. Так як кожне з 12 значень можна зіставляти з кожним з 12 значень, то, здавалося б, число всіх рішень дорівнює 12 × 12 = 144. Але насправді воно дорівнює 143, тому що при і при виходить одне становище стрілок.

Я вирішував це завдання приблизно тим же чином і з деякими зусиллями отримав правильну відповідь, але через кілька років мені спало на думку наступна картинка:

Подумки покладемо годинник циферблатом вниз на комплексну площину так, щоб 12 годин був у точці, а 3 години – у точці.

У цьому випадку положення стрілок годинника легко виражається через комплексну експоненту.Якщо час, що минув з півночі в годиннику, позначити як , то положення кінця хвилинної стрілки буде рівним , оскільки за кожну годину хвилинна стрілка здійснює рівно один оберт. Годинна ж рухається у 12 разів повільніше, і становище її кінця (будь вона довжини 1).

(Якщо попередній абзац абсолютно незрозумілий, то рекомендую чудові відео від 3blue1brown із серії Lockdown math)

Важливо, проте, навіть це, а співвідношення .

Користуючись цим співвідношенням, можна вирішувати практично будь-які завдання про стрілки годинника, причому робити це однаково. Почнемо із простого.

Скільки разів за 12 годин збігаються стрілки годинника?

Стрілки збігаються, отже. Звідси:

Оскільки - точка на одиничному колі і ніколи не дорівнює нулю, то можна сміливо ділити (як і на ):

Звідси негайно випливає, що це відбувається 11 разів за дванадцятигодинний період через рівні інтервали, починаючи з , т.е. е. опівночі/полудня. Інтервал складає години, тобто 1:00 і хвилин.

Скільки разів за 12 годин стрілки годинника направлені в протилежні сторони?

Стрілки протиспрямовані, отже. Звідси аналогічним способом отримуємо:

Відповідно, подібні моменти трапляються так само 11 разів за 12 годин з такими ж рівними інтервалами, але тільки починаючи не з , а з , Що відповідає 6 годин.

Скільки разів за 12 годин стрілки годинника розташовані під прямим кутом один до одного?

Це завдання трохи складніше, тому що прямий кут може бути як в один бік, так і в інший, тобто .

Оскільки, то рівняння еквівалентне. Далі аналогічно підставляємо:

І отримуємо 22 положення за 12 годин з інтервалом, відповідно, у хвилини, починаючи з 3 годин ( ) або 9 годин ( ).

Скільки разів за 12 годин зустрічаються годинна, хвилинна та секундна стрілки?

Згадаймо, що секундна стрілка рухається в 60 разів швидше за хвилинну, отже її положення . А якщо вони всі рівні, то потрібно вирішити рівняння, яке в силу можна перетворити на єдине рішення.

Аналогічним чином можна порахувати, що годинникова стрілка з секундною зустрічаються 719 разів за 12 годин, а хвилинна з секундною - 708 разів за 12 годин (по 59 разів на годину).

Коли стрілки стоять симетрично (тобто однакові відстані від 12)?

У випадку тут знадобилася б операція комплексного сполучення, але оскільки всі наші точки лежать на одиничному колі, то досить мінус першого ступеня: . Звідси:

Тринадцять можливих положень, починаючи з 12 години та з інтервалом у години, тобто хвилин.

У світі антиподів хвилинна стрілка йде з нормальною швидкістю, але на протилежний бік. Скільки разів за добу стрілки антиподного годинника а) збігаються; б) протилежні; в) розташовані під прямим кутом?

Оскільки у світі антиподів хвилинна стрілка йде у протилежний бік, то тут .

Думаю, читач до цього моменту вже наловчився вирішувати подібні рівняння в розумі, і може легко збагнути, що у рівнянь (для стрілок, що збігаються) і (для протилежних стрілок) буде по 13 ненульових рішень.
Прямому куту між стрілками відповідає рівняння , тобто цілих 26 рішень з інтервалом хвилин.

Ну що ж, настав час перейти до завдання, з якого все починалося.

Коли і як часто стрілки годинника займають такі положення, що заміна однією іншою дає нове положення, теж можливе на правильному годиннику?

Для будь-якого коректного положення стрілок, як ми пам'ятаємо, правильна рівність. Відповідно, щоб обмін стрілок також давав коректне положення, потрібно, щоб було правильно і . Звідси:

Разом - 143 можливі положення з рівними інтервалами на хвилину протягом 12 годин. Дуже лаконічно, якщо порівнювати з іншими способами рішення, чи не так?