Як звучить 1 закон Кеплера

Три закони руху планет щодо Сонця було виведено емпірично німецьким астрономом Йоганном Кеплером на початку XVII століття. Це стало можливо завдяки багаторічним спостереженням датського астронома Тихо Браге.

Перший закон Кеплера. Кожна планета рухається еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Другий закон Кеплера (закон рівних площ). Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу визначає рівновеликі площі. Інше формулювання цього закону: секторіальна швидкість планети стала.

Третій закон Кеплера. Квадрати періодів звернень планет навколо Сонця пропорційні кубам великих півосей їх еліптичних орбіт.

Сучасне формулювання першого закону доповнено так: у незбуреному русі орбіта тіла, що рухається, є крива другого порядку - еліпс, парабола або гіпербола.

На відміну від двох перших, третій закон Кеплера застосовується тільки до еліптичних орбіт.

Швидкість руху планети у перигелії

Кеплер відкрив свої закони емпіричним шляхом. Ньютон вивів закони Кеплера із закону всесвітнього тяжіння. Для визначення мас небесних тіл важливе значення має узагальнення Ньютоном третього закону Кеплера на будь-які системи тіл, що звертаються.

У узагальненому вигляді цей закон зазвичай формулюється так: квадрати періодів ₁ і ₂ звернення двох тіл навколо Сонця, помножені на суму мас кожного тіла (відповідно ₁ і ₂) і Сонця ) , відносяться як куби великих півосей ₁ і ₂ їх орбіт:

При цьому взаємодія між тілами ₁ і ₂ не враховується. Якщо знехтувати масами цих тіл проти масою Сонця (тобто. ₁ , ₂ ), то вийде формулювання третього закону, дане самим Кеплером:

Третій закон Кеплера можна також висловити як залежність між періодом поводження по орбіті тіла з масою і великою піввіссю орбіти (-постійна гравітаційна):

Тут потрібно зробити таке зауваження. Для простоти часто говориться, що одне тіло звертається навколо іншого, але це справедливо тільки для випадку, коли маса першого тіла зневажливо мала в порівнянні з масою другого центру, що притягає. Якщо ж маси можна порівняти, слід враховувати й вплив менш масивного тіла більш масивне. У системі координат з початком у центрі мас орбіти обох тіл будуть конічними перерізами, що лежать в одній площині та з фокусами в центрі мас, з однаковим ексцентриситетом. Відмінність буде лише у лінійних розмірах орбіт (якщо тіла різної маси). У будь-який момент часу центр мас лежатиме на прямій, що з'єднує центри тіл, а відстані до центру мас ₁ і ₂ тіл масою ₁ і ₂ відповідно пов'язані наступним співвідношенням: ₁/₂ = ₂/₁. Перицентри та апоцентри своїх орбіт (якщо рух фінітний) тіла також проходитимуть одночасно.

Третій закон Кеплера можна використати, щоб визначити масу подвійних зірок.

Закони Кеплера

Німецький математик Йоган Кеплер спостерігав за рухом небесних тіл і виявив основні закономірності незбуреного руху.

1 закон Кеплера (Закон Еліпса)

Незбурена орбіта матеріальної точки (планети на орбіті навколо Сонця, супутника на орбіті Землі) є плоскою кривою другого порядку - конічним перетином, в одному з фокусів якої знаходиться центр тіла, що притягає (Сонця або Землі відповідно).

2 закон Кеплера (Закон рівних площ)

За рівні проміжки часу радіус-вектор космічного апарату замітає рівні площі.Простіше кажучи, діє закон збереження енергії: чим ближче до тіла, що притягує, знаходиться космічний апарат (відстань до центру менше), тим більша швидкість, з якою космічний апарат рухається. І навпаки: чим більша відстань від Сонця (або Землі), тим менша його швидкість, і за той самий час він пройде по орбіті меншу відстань.

3 закон Кеплера (Гармонічний закон)

Квадрати періодів обігу матеріальних точок навколо тіла, що притягує, відносяться як куби їх великих півосей.

Індекси: 1 перший супутник, 2 другий супутник

Приймаючи за перший супутник, наприклад, Місяць, період обігу і велика піввісь якого відомі з високою точністю, і знаючи один із параметрів супутника, що шукається, за допомогою Гармонічного закону знайдеться невідомий параметр (період або велика піввісь).

*Примітка: поняття «перигей» та «апогей» відносяться до навколоземних орбіт («гея» - грец. Земля). Для еліптичних орбіт навколо Місяця застосовують поняття «периселеній» та «апоселень», для орбіт навколо Сонця – «афелій» та «перигелій».

Перший закон Кеплера

Орбітальний шлях планет - еліпс із Сонцем, розташованим в одному з фокусів.

Завдання навчання

• Застосувати Перший закон Кеплера, щоб охарактеризувати планетарний рух.

Основні пункти

• Еліпс відображає закриту плоску дугу, що нагадує розтягнуте коло. Коло - особливий випадок, де збігаються обидві фокальні точки.
• Витягнутий еліпс відомий як ексцентриситет: параметр, здатний приймати будь-яке значення, більше або дорівнює 0 (коло) і менше 1 (прагне параболі).
• Еліпс можна відобразити в координатах: r = p / (1 + ε • cosθ, де r, θ – полярні координати для еліпса, ε – ексцентриситет.
• Перигелій – мінімальна дистанція від Сонця, що визначається як r_min = p/(1+ε). Афелій – найбільша дистанція до зірки на орбіті – r_maх = p / (1-ε)

Терміни

• Ексцентриситет – коефіцієнт варіації між r_min та r_max ε = (r_max-r_min)/(r_max+r_min). Чим більше фокусів, тим більше показник.
• -Перігелій - точка на еліптичній орбіті, де об'єкт найближче підходить до Сонця на орбітальному шляху. Максимальна віддаленість – афелій.
• Напівфокальний параметр - хорда, перпендикулярна великій осі і фокусу, що проходить через неї.

Перший закон Кеплера

Обертання планет по орбіті відбувається у формі еліпса, а зірка розташована на одному з фокусів. Еліпс - замкнута плоска крива, що нагадує розтягнуте коло. Пам'ятайте, що Сонце займає не центральну частину, а фокус. Друга фокальна точка не має фізичного значення для орбіти. Центр еліпса відображає середину відрізка лінії, що поєднує координаційні точки. Коло – збіг фокальних точок. Нижні малюнки добре передають формулювання першого закону Кеплера про рух планет по орбіті.

Витягнутість еліпса визначається ексцентриситетом (може набувати будь-якого значення). Якщо він більший або дорівнює 0, то отримуємо коло, якщо менше 1, то прагне параболі. Ексцентриситети планет, відомих Кеплеру, вагалися від 0.007 (Венера) до 0.2 (Меркурій). Великі показники можна виявити у комет та астероїдів. У карликової планети Плутон – 0.25.

Еліпс можна записати як: де r, θ – полярні координати для еліпса, ε – ексцентриситет.

Орбіта як еліпс

Геліоцентрична система координат для еліпса. Тут видно напівосновна вісь (а), напівмісячна вісь (b) та напівфокальний параметр (p). Для θ = 0 °, r = r_min і для θ = 180 °, r = r_max.

При θ = 0 ° перигелій дорівнює:

За θ = 90° і за θ = 270° дистанція – p.

При θ = 180 ° дистанція максимальна:

Напівосновна вісь a виступає середнім арифметичним між мінімумом та максимумом:

Півмісячна вісь b – середня геометрична між мінімумом і максимумом:

Напівфокальний параметр – гармонійне середнє між мінімумом та максимумом:

Ексцентриситет – коефіцієнт варіації між мінімумом та максимумом:

Виняток - ε = 0, через що r = p = r_min = r_max = a = b і A = πr 2 . Орбіти планет із дуже маленькими ексцентриситетами можуть бути апроксимовані як кола.