Ознаки рівності трикутників

Два трикутники вважаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням. Але щоб не виконувати щоразу накладення, для доказу рівності трикутників, встановили три ознаки, за якими можна визначити, чи сумісніться трикутники чи ні. Ці ознаки називаються ознаками рівності трикутників.

Перша ознака рівності трикутників

Теорема:

Два трикутники рівні, якщо вони рівні дві сторони і кут, що лежить між цими сторонами.

Розглянемо два трикутники ABC і A₁B₁C₁, у яких:

Потрібно довести, що

Якщо накласти A₁B₁C₁ на ABC так, щоб крапка A₁ поєдналася з точкою A і сторона A₁B₁ сполучилася зі стороною AB, то крапка B поєднається з точкою B₁, так як A₁B₁ = AB. Сторона A₁C₁ поєднається зі стороною AC, так як ∠A = ∠A₁. Крапка C₁ збігається з точкою C, так як A₁C₁ = AC. Сторони B₁C₁ і BC поєднаються, оскільки поєдналися їхні кінці. Таким чином, трикутники поєднуються. Теорему доведено.

Друга ознака рівності трикутників

Теорема:

Два трикутники рівні, якщо в них дорівнює одна зі сторін і два кути, що до неї прилягають.

Розглянемо два трикутники ABC і A₁B₁C₁, у яких:

AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁ і ∠C = ∠C₁.

Потрібно довести, що

Якщо накласти A₁B₁C₁ на ABC так, щоб крапка A₁ поєдналася з точкою A і сторона A₁C₁ сполучилася зі стороною AC, то крапка C₁ збігається з точкою C, так як A₁C₁ = AC. Сторона A₁B₁ збігається зі стороною AB, так як ∠A = ∠A₁. Сторона C₁B₁ збігається зі стороною CB, так як ∠C = ∠C₁. Вершина B₁ збігається з вершиною B, так як B і B₁ будуть служити точками перетину тих самих відрізків. Таким чином, трикутники поєднуються. Теорему доведено.

Третя ознака рівності трикутників

Теорема:

Два трикутники рівні, якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого.

Розглянемо два трикутники ABC і A₁B₁C₁, у яких:

Потрібно довести, що

Докладемо трикутники ABC і A₁B₁C₁ один до одного так, щоб вершина A сполучилася з A₁, вершина C - з C₁, а вершини B і B₁ опинилися по різні боки від прямої AC.

З'єднавши точки B і B₁, отримаємо два рівнобедрених трикутники BAB₁ і BСB₁.

У трикутнику BAB₁ ∠1 = ∠4, в BСB₁ ∠2 = ∠3 (як кути на підставі). Отже,

∠1 + ∠2 = ∠4 + ∠3, тому ∠ABC = ∠AB₁C.

Отже, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

З цього випливає, що трикутники ABC і A₁B₁C₁ рівні за першою ознакою рівності трикутників. Теорему доведено.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Для прямокутних трикутників, крім перелічених трьох ознак рівності, є ще додаткові ознаки, оскільки вони мають прямий кут, проте прямі кути рівні між собою.

Два прямокутні трикутники дорівнюватимуть у наступних чотирьох випадках:

1. Якщо катети одного трикутника дорівнюють катетам іншого.
2. Якщо катет і гострий кут одного трикутника, що прилягає до нього, рівні катету і гострому куту іншого, що прилягає до нього.
3. Якщо гіпотенуза та гострий кут одного трикутника рівні гіпотенузі та гострому куту іншого.
4. Якщо гіпотенуза та катет одного трикутника рівні гіпотенузі та катету іншого.

Ознаки рівності трикутників

Ознаки рівності трикутників це теореми, на підставі яких можна довести, що деякі трикутники рівні.

У геометрії використовують три ознаки рівності трикутників.

( по двох сторонах і кутку між ними )

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

(осторонь і двом прилеглим до неї кутам)

Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

( по трьох сторонах )

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Трикутник - це геометрична фігура, утворена з'єднанням відрізками трьох, що не лежать на одній прямій точок.

Ці точки називаються вершинами трикутник. Відрізки, що з'єднують ці точки називаються сторонами трикутник.

Трикутник позначається знаком ⊿. Наприклад, трикутник ABC позначається так: ⊿ABC. Цей трикутник можна позначати так: ⊿BAC, ⊿CBA і т.д.

Кути трикутника позначають так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Ці кути коротко позначають також ∠A, ∠B, ∠Cвідповідно. Кути трикутника прийнято також позначати грецькими літерами α, β, γ і т.д. Сторони трикутника позначають так AB, BC, AC. Прийнято також сторони позначати однією малою літерою, причому сторона навпроти кута A позначається буквою a, сторона навпроти кута B− b, сторона навпроти кута C− c. Сума трьох сторін трикутника називається периметром трикутник.

Як відомо, два трикутники називаються рівними, якщо при накладенні один на одного їх можна поєднати. На Рис.2 представлені два трикутники ABC і A₁B₁C₁. Трикутник ABC можна накласти на трикутник A₁B₁C₁ так, щоб вершини та сторони цих трикутників попарно поєдналися. Очевидно, що при цьому поєднаються і відповідні кути.

Вищевикладене можна сформулювати так:

Якщо два трикутники рівні, то елементи (сторони та кути) одного трикутника відповідно дорівнюють елементам іншого трикутника. Рівність трикутників ABC і A₁B₁C₁ позначається так:

Перша ознака рівності трикутників

Теорема 1. Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то ці трикутники рівні.

Доказ. Розглянемо трикутники ABC і A₁B₁C₁ (Рис.3). Нехай AB=A₁B₁, АС=A₁З₁ та ∠A=∠A₁. Доведемо, що .

Оскільки ∠A=∠A₁, то трикутник ABC можна накласти на трикутник A₁B₁C₁ так, щоб вершини A і A₁ збігалися, а сторони AB і АС наклалися на промені A₁B₁ і A₁C₁відповідно.

Оскільки за умовою теореми AB=A₁B₁, АС=A₁З₁, то сторона AB поєднається зі стороною A₁B₁, а сторона АС − зі стороною A₁З₁.Тоді поєднаються B і B₁, C і З₁. Отже сторона BC поєднається зі стороною B₁C₁. Тобто трикутники ABC і A₁B₁C₁ повністю поєднуються. Теорему доведено.

Друга ознака рівності трикутників

Теорема 2.Якщо сторона і два кута одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то ці трикутники рівні.

Доказ. Розглянемо трикутники ABC і A₁B₁З₁ (Мал.4). Нехай AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁. Доведемо, що .

Накладемо трикутник ABC на трикутник A₁B₁З₁ так, щоб вершина A поєднувалася з вершиною A₁, сторона AB − зі стороною A₁B₁ (за умовою теореми AB=A₁B₁), а вершини C і З₁ опинилися по один бік від прямої A₁B₁.

Оскільки ∠A=∠A₁ та ∠B=∠B₁, то сторона АС накладеться на промінь A₁C₁ а сторона BС − на промінь B₁З₁. Тоді вершина C опиниться на промені A₁C₁ і на промені B₁C₁. Тобто. вона опиниться на перетині цих променів і, отже, вершина C поєднається із загальною точкою променів A₁C₁ і B₁C₁, тобто. з вершиною C₁. Таким чином поєднаються сторони AC і A₁C₁, BC і B₁C₁. Тобто трикутники ABC і A₁B₁З₁ повністю поєднаються, тому вони рівні. Теорему доведено.

Третя ознака рівності трикутників

Теорема 3. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники рівні.

Доказ. Розглянемо трикутники ABC і A₁B₁З₁. Нехай AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ і BC=B₁C₁. Доведемо, що . Прикладемо трикутник ABC до трикутника A₁B₁З₁ так, щоб вершина A поєднувалася з вершиною A₁, вершина B поєднувалася з вершиною B₁, а вершини З і З₁ знаходилися по різні боки від прямої A₁B₁.

Можливі три варіанти: промінь CC₁ проходить усередині кута ACB(Рис.6); промінь CC₁ збігається з однією зі сторін кута ACB (Мал.7); промінь CC₁ проходить поза кутом ACB(Рис.8). Розглянемо ці три випадки окремо.

Варіант 1 (Рис.6). Оскільки за умовою теореми AC=A₁C₁ і BC=B₁C₁, то трикутники AСС₁ і BСС₁ рівнобедрені. Тоді ∠1=∠2 та ∠3=∠4 і, отже:

Маємо AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ ∠ACB=∠A₁C₁B₁ і за першою ознакою рівності трикутників. Теорему доведено.

Варіант 2 (Мал.7). Оскільки за умовою теореми AC=A₁C₁ і BC=B₁C₁, то трикутник BСС₁ рівнобедрений. Тоді ∠1=∠2. Маємо: AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠1=∠2 і за першою ознакою рівності трикутників. Теорему доведено.

Варіант 3 (Рис.8). Оскільки за умовою теореми AC=A₁C₁ і BC=B₁C₁, то трикутники AСС₁ і BСС₁ рівнобедрені. Тоді ∠1=∠2 і, отже:

Маємо AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ і за першою ознакою рівності трикутників. Теорему доведено.

Завдання та рішення

Завдання 1. На сторонах кута CAD відзначені точки B і E так, що крапка B лежить на відрізку AC, а крапка E − на відрізку AD, причому AC=AD і AB=AE. Доведіть, що ∠CBD=∠DEC (Мал.9).

Доказ. AC=AD, AE=AB, ∠CAD загальний для трикутників CAE і DAB. Тоді за першою ознакою рівності трикутників (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Отже ∠DBA=∠AEC. Оскільки кути CBD і DBA суміжні, то CBD=180°−∠DBA. Аналогічно CED=180°-∠AEC. Тобто ∠CBD=∠DEC. Кінець доказу.

Завдання 2. За даними малюнка рис.10 доведіть, що OP=OT, ∠P=∠T

Доказ. OC=OB, ∠TCO=∠PBO= 90 °. Кути TOC і POB вертикальні (отже рівні) тоді, вторинною ознакою рівності трикутників (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Кінець доказу.

• Крапка (геометрія)
• Пряма
• Промінь (геометрія)
• Кут
• Відрізок
• Серединний перпендикуляр до відрізка
• Ламана
• Пропорційні відрізки
• Аксіома паралельних прямих
• Суміжні кути. Властивості суміжних кутів
• Вертикальні кути. Властивості вертикальних кутів
• Перпендикулярні прямі
• Перпендикуляр до прямої
• Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих
• Теореми про кути, утворені двома паралельними прямими та січній
• Бісектриса кута. Властивості
• Теорема Піфагора онлайн
• Теорема, обернена до теореми Піфагора
• Теорема Фалес. Доказ
• Трикутники. Ознаки рівності трикутників
• Подібні трикутники. Ознаки подоби трикутників
• Бісектриса трикутника онлайн
• Серединні перпендикуляри до сторін трикутника
• Теорема про бісектрису трикутника. Доказ
• Висота трикутника онлайн
• Теорема Стюарта. Доказ
• Теорема синусів. Доказ
• Теорема косінусів. Доказ
• Рішення трикутників онлайн
• Прямокутний трикутник. Онлайн калькулятор
• Рівнобедрений трикутник. Онлайн калькулятор
• Сума кутів трикутника
• Зовнішній кут трикутника
• Види трикутників
• Співвідношення між сторонами та кутами трикутника
• Нерівність трикутника
• Середня лінія трикутника
• Теорема Менела
• Окружність, описана біля трикутника
• Радіус описаного кола біля трикутника онлайн
• Радіус описаного кола біля рівнобедреного трикутника онлайн
• Радіус описаного кола біля рівностороннього трикутника онлайн
• Радіус описаного кола біля прямокутного трикутника онлайн
• Окружність, вписана в трикутник
• Радіус вписаного в трикутник кола онлайн
• Радіус вписаного кола в рівнобедрений трикутник онлайн
• Радіус вписаного кола в рівносторонній трикутник онлайн
• Радіус вписаного кола в прямокутний трикутник онлайн
• Коло та коло. Онлайн калькулятор
• Взаємне розташування прямої та кола
• Стосовно кола
• Центральний кут кола. Градусний захід дуги кола
• Вписаний кут кола
• Квадрат. Онлайн калькулятор
• Прямокутник. Онлайн калькулятор
• Паралелограм
• Ромб
• Сторона ромба онлайн
• Висота ромба онлайн
• Площа ромба онлайн
• Діагоналі ромба онлайн
• Трапеція. Визначення, види, властивості
• Чотирьохкутник
• Чотирьохкутник, вписаний у коло
• Окружність, вписана в чотирикутник
• Багатокутник
• Площа трикутника онлайн
• Площа прямокутного трикутника онлайн
• Площа рівностороннього трикутника онлайн
• Площа рівнобедреного трикутника онлайн
• Площа квадрата онлайн
• Площа прямокутника онлайн