Скільки існує доказів теореми Піфагора

1. Глейзер Г.І. Історія математики у школі VII – VIII класи, посібник для вчителів, – М: Просвітництво, 1982.

2. Демпан І.Я., Віленкін Н.Я. «За сторінками підручника математики» Посібник для учнів 5-6 класів. - М.: Просвітництво, 1989.

10. Антонов Н.П., Вигодський М.Я., Нікітін В.В., Санкін А.І. «Збірник завдань з елементарної математики». - М., 1963.

13. «Дійсні числа. Ірраціональні висловлювання» 8 клас. Видавництво Томського університету. - Томськ, 1997.

Цього навчального року я познайомилися з цікавою теоремою, відомою, як виявилося з найдавніших часів:

"Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника рівновеликий сумі квадратів побудованих на катетах".

Зазвичай відкриття цього твердження приписують давньогрецькому філософу та математику Піфагору (VI століття до н.е.). Але вивчення стародавніх рукописів показало, що це твердження було відоме задовго до народження Піфагора.

Я зацікавилися, чому її зв'язують з ім'ям Піфагора.

Актуальність теми: Теорема Піфагора має велике значення: застосовується в геометрії буквально на кожному кроці. Я вважаю, що праці Піфагора досі актуальні, адже куди б ми не подивилися, скрізь можна побачити плоди його великих ідей, втілені у різні галузі сучасного життя.

Метою мого дослідження було: дізнатися, хто такий був Піфагор і яке відношення він має до цієї теореми.

Вивчаючи історію теореми, я вирішила з'ясувати:

- Чи існують інші докази цієї теореми?

- Яке значення цієї теореми у житті людей?

- Яку роль відіграв Піфагор у розвитку математики?

З біографії Піфагора

Піфагор Самоський – великий грецький вчений. Його популярність пов'язана з назвою теореми Піфагора. Хоча зараз ми знаємо, що ця теорема була відома в стародавньому Вавилоні за 1200 років до Піфагора, а в Єгипті за 2000 років до нього був відомий прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5, ми як і раніше називаємо її на ім'я цього древнього вченого.

Про життя Піфагора майже нічого невідомо, але з його ім'ям пов'язана велика кількість легенд.

Піфагор народився в 570 році до н.е. на острові Самос.

Піфагор мав гарну зовнішність, носив довгу бороду, а на голові — золоту діадему. Піфагор – це не ім'я, а прізвисько, яке філософ отримав за те, що завжди говорив вірно та переконливо, як грецький оракул. (Піфагор - "переконує промовою").

У 550 році до н.е. Піфагор приймає рішення і вирушає до Єгипту. Отже, перед Піфагором відкривається невідома країна та невідома культура. Багато вражало і дивувало Піфагора в цій країні, і після деяких спостережень за життям єгиптян Піфагор зрозумів, що шлях до знань, що охороняються кастою жерців, лежить через релігію.

Після одинадцяти років навчання в Єгипті Піфагор вирушає на батьківщину, де по дорозі потрапляє до Вавилонського полону. Там він знайомиться з вавилонською наукою, яка була більш розвинена, ніж єгипетська. Вавилонці вміли вирішувати лінійні, квадратні та деякі види кубічних рівнянь. Втікши з полону, він не зміг довго залишатися на батьківщині через атмосферу насильства і тиранії, що там панувала. Він вирішив переселитися до Кротона (грецька колонія на півночі Італії).

Саме в Кротоні починається найславетніший період у житті Піфагора.Там він заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства чи таємного чернечого ордену, члени якого зобов'язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя.

Піфагор та піфагорійці

Піфагор організував у грецькій колонії Півдні Апенінського півострова релігійно-етичне братство, типу чернечого ордену, який згодом назвуть піфагорійським союзом. Члени союзу повинні були дотримуватися певних принципів: по-перше, прагнути прекрасного і славного, по-друге, бути корисними, по-третє, прагнути високої насолоди.

p align="justify"> Система морально-етичних правил, заповідана Піфагором своїм учням, була зібрана в своєрідний моральний кодекс піфагорійців «Золоті вірші», які користувалися великою популярністю в епоху Античності, епоху Середньовіччя та епоху Відродження.

Піфагорійська система занять складалася з трьох розділів:

- вчення про числа – арифметику,

- вчення про фігури – геометрії,

- вчення про будову Всесвіту – астрономію.

Система освіти, закладена Піфагором, проіснувала багато століть.

Школа Піфагора багато зробила, щоб надати геометрії характеру науки. Основною особливістю методу Піфагор було об'єднання геометрії з арифметикою.

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями і, ймовірно, подобою фігур, оскільки йому приписують вирішення завдання: «За цими двома фігурами побудувати третю, рівновелику однієї з даних і подібну до другої».

Піфагор та його учні ввели поняття про багатокутні, дружні, досконалі числа і вивчали їх властивості. Арифметика як практика обчислень не цікавила Піфагора, і він з гордістю заявив, що «поставив арифметику вище за інтереси торговця».

Членами Піфагорійського союзу були жителі багатьох міст Греції.

У своє суспільство піфагорійці приймали і жінок. Союз процвітав понад двадцять років, а потім почалися гоніння на його членів, багато учнів було вбито.

Про смерть самого Піфагора ходило багато різних легенд. Але вчення Піфагора та його учнів продовжувало жити.

З історії створення теореми Піфагора

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що саме Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх «Початків». З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у «Початках» належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності.

Історичний огляд теореми Піфагора почнемо зі стародавнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5:

«Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4».

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м. і прив'яжемо до неї кольорової смужці з відривом 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри.

Геометрія в індусів була пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 8 століття до нашої ери. Поряд із суто ритуальними приписами, існують і твори геометрично-теологічного характеру.У цих творах, які стосуються 4 чи 5 століття до нашої ери, ми зустрічаємося з побудовою прямого кута з допомогою трикутника зі сторонами 15, 36, 39.

У середні віки теорема Піфагора визначала кордон, а то й найбільших можливих, то, по крайнього заходу, хороших математичних знань. Характерне креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, на одягненого в мантію професора або людини циліндрі, в ті часи нерідко вживався як символ математики.

На закінчення наведемо різні формулювання теореми Піфагора у перекладі з грецької, латинської та німецької мов.

Евкліда ця теорема говорить (дослівний переклад):

"У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут".

Як бачимо, у різних країнах та різних мовах існують різні варіанти формулювання знайомої нам теореми. Створені в різний час і в різних мовах, вони відображають суть математичної закономірності, доказ якої також має кілька варіантів.

П'ять способів доказу теореми Піфагора

На давньокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a, b і гіпотенузою з укладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною a + b, а внутрішній – квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказ Дж. Гардфілда (1882)

Розташуємо два рівні прямокутні трикутники так, щоб катет одного з них був продовженням іншого.

Площа трапеції, що розглядається, знаходиться як добуток напівсуми підстав на висоту

З іншого боку, площа трапеції дорівнює сумі площ отриманих трикутників:

Прирівнюючи дані висловлювання, отримуємо:

Цей доказ виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника.

Ймовірно, з нього починалася теорема.

Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми.

Наприклад, для трикутника АВС: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах, – по два. Теорему доведено.

Доказ давніх індусів

Квадрат зі стороною (a + b) можна розбити на частини або як на рис. 12. а, або як на рис. 12, б. Зрозуміло, що частини 1, 2, 3, 4 обох малюнках однакові. Якщо ж від рівних (площ) відібрати рівні, те й залишаться рівні, тобто. с2 = а2 + b2.

Протягом двох тисячоліть найпоширенішим був доказ теореми Піфагора, вигаданий Евклідом. Воно вміщено у його знаменитій книзі «Початку».

Евклід опускав висоту BН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутники, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах.

Креслення, що застосовується при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу він вважався одним із символів математичної науки.

Застосування теореми Піфагора

Значення теореми Піфагора у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії і розв'язати безліч завдань. Крім цього, практичне значення теореми Піфагора і зворотної теореми полягає в тому, що з їх допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи самих відрізків. Це ніби відкриває шлях від прямої до площини, від площини до об'ємного простору і далі.Саме з цієї причини теорема Піфагора така важлива для людства, яке прагне відкривати все більше вимірів і створювати технології в цих вимірах.

Теорема Піфагора настільки відома, що важко уявити собі людину, яка не чула про неї. Я дізналася, що є кілька способів доказу теореми Піфагора. Я вивчила низку історичних та математичних джерел, у тому числі інформацію в Інтернеті, і зрозуміла, що теорема Піфагора цікава не лише своєю історією, а й тим, що вона займає важливе місце у житті та науці. Про це свідчать наведені мною у цій роботі різні трактування тексту цієї теореми та шляхи її доказів.

Отже, теорема Піфагора – одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова і тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна побачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, не побачиш, що між його сторонами є просте співвідношення: c2 = a2 + b2. Тому на її докази часто використовують наочність. Заслуга Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінний науковий доказ цієї теореми. Цікава особистість самого вченого, пам'ять якого невипадково зберегла ця теорема. Піфагор - чудовий оратор, вчитель і вихователь, організатор своєї школи, орієнтованої на гармонію музики та чисел, добра і справедливості, на знання та здоровий спосіб життя. Він цілком може бути прикладом для нас, далеких нащадків.