Позиційні системи числення. Основні визначення.

Визначення. Система числення чи нумерація — це спосіб запису (позначення) чисел.

Визначення. Символи, з яких записуються числа, називаються цифрами, які сукупність — алфавітом системи числення. Кількість цифр, що становлять алфавіт, називається його розмірністю.

Система числення називається позиційною, якщо кількісний еквівалент цифри залежить від її положення запису числа.

У позиційних системах числення значення числа утворюється шляхом множення значення цифр на «ваги» відповідних розрядів і, потім, всі отримані твори складаються. Наприклад,

5047₁₀ = 5 • 1000 + 0 • 100 + 4•10 + 7 • 1

D4А5₁₆ = D • 4096 + 4 • 256 + А • 16 + 5 • 1

1101₂ = 1 • 8 + 0 • 4 + 0 • 2 + 1 • 1

Такий спосіб формування значення числа отримав назву адитивно-мультиплікативний.

Базис, алфавіт та основа позиційної системи числення

Визначення. Послідовність чисел, кожне з яких задає "вага" відповідного розряду, називається базисом позиційної системи числення.

Визначення. Позиційну систему числення називають традиційною, якщо її базис утворюють члени геометричної прогресії, а значення цифр є негативними числами.

У загальному вигляді базис традиційної системи числення можна записати так:
…Р-3, Р-2, Р-1, 1, Р, Р2, Р3, …, Рn, …

Визначення. Знаменник Р геометричної прогресії, члени якої утворюють базис традиційної системи числення, називається основою цієї системи числення. Традиційні системи числення з основою Р інакше називають Р-ічними…

У Р-ичних системах розмірність алфавіту дорівнює основи системи числення.

Алфавітом довільної системи числення з основою Р є числа 0, 1, . , Р-1, кожне з яких має бути записано за допомогою одного унікального символу, молодшою ​​цифрою завжди є 0.

Підставою Р-ичної системи числення може бути будь-яке натуральне число, більше одиниці. Системою числення з мінімальною основою є двійкова система.

Максимальну цифру в довільній Р-іншій системі числення можна позначити [Р - 1]

Для однозначного визначення позиційної системи числення, у якої як цифри використовуються натуральні числа та 0, необхідно і достатньо вказати тільки її базис: послідовність чисел …, Р₀, Р₁, …, Р_n, …. Інші компоненти системи є похідними від базису.

Послідовність чисел може бути базисом позиційної системи числення лише тоді, коли у відповідній цьому базису системі може бути представлене будь-яке число (якщо система призначена тільки для нумерації цілих чисел, будь-яке ціле число).

Домовленості про форми запису цифр

Як цифри систем обчислення можуть бути використані будь-які символи.

У математиці дотримуються наступних домовленостей щодо виду цифр, що використовуються:

Якщо основа системи числення Р

Copyright © 2014-2021, Урок інформатики
Усі права захищені

Позиційні системи числення

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою запису числа, залежить від її позиції. Наприклад, запис «14» означає чотирнадцять, «41» — сорок один, при цьому для запису числа використовуються одні й ті самі цифри, число залежить від їхньої позиції.
Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. Місце кожної цифри в числі називається позицією.

Двійкова, десяткова, вісімкова та шістнадцяткова системи з підставами два, десять, вісім та шістнадцять відповідно є позиційними системами числення.
Просування цифри називають її заміну наступну за величиною.
Просунути цифру 1 означає замінити її на 2, просунути цифру 2 означає замінити її на 3. Просування старшої цифри у десятковій системі (це цифра 9) означає заміну її на 0.
Для утворення цілого числа, наступного за будь-яким даним цілим числом, Необхідно просунути крайню праву цифру числа, у своїй якщо якась цифра після просування стала банкрутом, потрібно також просунути цифру, що стоїть ліворуч від неї. Якщо цифри зліва немає, замість неї ставиться нуль і просувається.

• Двійкова: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.
• Десяткова: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Вісімкова: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
• Шістнадцяткова: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (числа від 10 до 15 у шістнадцятковій системі зображуються літерами A, B, C, D, E, F).

Системи числення

Числа під час листа замінюються спеціальними знаками. Метод уявлення числових еквівалентів з допомогою спеціальної знакової системи називається системою числення. Системи числення, як із важливих розділів теоретичної інформатики, докладно розглядаються у курсі інформатики 9 класу.

Що таке системи числення

Системою числення називається система запису чисел за допомогою знаків за певними правилами.

Символи, з допомогою яких записуються числові значення, зазвичай називають цифрами, проте всі знаки системи числення утворюють алфавіт. Кількість знаків, що використовуються для позначення чисел, називається основою системи числення.

Наведемо приклади чисел систем числення з різною основою.

Основна десяткова система, звична і загальновживана, має десять символів для позначення всіх чисел, тобто її основа дорівнює 10. Символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 є цифрами. Після цифри 9 у числовому ряду йде двозначне 10. При цьому відбувається зсув розрядної сітки числа вліво на один розряд.

Десяткова система використовує арабські цифри. Імовірно, арабська система запису чисел виникла в Індії. Індійську систему запису чисел описав Аль Хорезмі у своєму трактаті «Про індійський рахунок».

Мал. 1. Портрет Аль Хорезмі.

Системи числення в інформатиці не обмежуються застосуванням десяткових цифр, найпоширенішими системами є двійкова, вісімкова та шістнадцяткова системи числення.

У двійковій системі числення все просто. Основа дорівнює 2. Позначення чисел виконується лише двома символами 0 та 1.

Восьмерична система використовує 8 знаків для позначення чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. І числовий ряд вісімкових чисел виглядає так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 , 11, 12 … Слід звернути увагу, що після 7 йде двозначне число 10, тому що символів всього вісім і відбувається зсув розрядної сітки.

Шістнадцяткова система має основу 16. Вона застосовує як символи арабські цифри від 0 до 9 і потім літери латинського алфавіту A, B, C, D, E, F. У числовому ряду шістнадцяткових чисел після 9 йде А, а після F йде 10.

Тоді виникає питання, як визначити, в якій системі числення, наприклад, число 107. Цифри 0, 1, 7 використовуються як у вісімковій, так і в десятковій та шістнадцятковій системі числення. Щоб розрізняти системи, існує спеціальне позначення систем числення.Числа позначаються індексом із основою системи. Так, 107₈ – це вісімкове число, 107₁₀ – десяткове число, 107₁₆ - Шістнадцяткове число.

в історії є приклади використання та інших систем числення. Так, деякі корінні культури Африки та Австралії використовують двійкові та трійкові системи. Індіанці Юки користуються четвірковою системою числення, п'ятирічна система числення поширена більше (за кількістю пальців на руці), її елементи зустрічаються у давніх персів та ацтеків, у індіанців племені Таманакос. У давніх Шумерів використовувалася шістдесяткова система числення, розбивка години на 60 хвилин і хвилини на 60 секунд, ймовірно, відлуння цієї системи.

Позиційні системи числення

Розглянуті системи числення відносяться до класу позиційних систем. Вони числове значення кожної цифри залежить від становища в числе. Наприклад, у десятковому числі 126 одиниця означає сотню, а в числі 216 одиниця вже на іншому місці і означає десять.

Кожне число позиційної системи числення можна представити як у згорнутому вигляді, наприклад, 126, так і в розгорнутому: 1 * 102 + 2 * 101 + 6 * 100, тобто 100 + 20 +6 = 126.

Аналогічно, двійкове число 111001 = 1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0

Восьмеричне число: 247 = 2 * 8 2 + 4 * 8 1 + 7 * 8 0

Шістнадцяткове число: 2A5F = 2*16 3 + A*16 2 + 5*16 1 + F*16 0

Використовуючи розгорнуту форму, можна переводити числа з будь-якої системи числення до десяткової системи.

Непозиційні системи числення

Крім позиційних систем, існують також непозиційні системи, в яких розташування цифри не впливає на числове значення. Наприклад, римська система цифр будується з урахуванням символів I, V, X, L, C, D, M, які означають відповідно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Так, римське XVII означає 17.Отримано шляхом підсумовування 10+5+1+1.

Ще один приклад: число 14 римських цифр записується як XIV. Тут використані символи X, I, і V, які позначають 10, 1 і 5. Існує правило, згідно з яким, менше число, що стоїть зліва від більшого, слід віднімати з нього. Тобто I (1) менший за V (5), тому 5 – 1 = 4. І тоді число XIV виходить як 10 + (5 – 1) = 14

Наприклад, 1985 рік у римській системі виглядає так MCMLXXXV: 1000 + (1000 - 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 = 1985

Мал. 2. Таблиця римських цифр та його значень.

Найпершою системою числення історії людства була унарна система, у якій використовувався лише одне знак, чи точніше один камінь, паличка чи засічка. Звісно, ​​за допомогою такої системи записати великі числа практично неможливо. Тому давні люди стали замінювати групи паличок на інший символ.

Що ми дізналися?

Числа для зручності запису надаються за допомогою системи символів, яка називається системою числення. Існують позиційні та непозиційні системи числення. У позиційних системах кількість знаків, що використовуються, називається основою. В інформатиці використовуються двійкова, вісімкова, десяткова та шістнадцяткова системи числення.