Центр тяжкості тіла

Поряд із центром мас у фізиці користуються поняттям центру тяжкості тіла. Його знаходження – важлива прикладна задача, необхідна на вирішення складніших завдань визначення умов рівноваги тел.

Поняття центру важкості

Розглянемо однорідний плоский диск. Якщо підвісити його до нитки, то в усіх, крім одного, випадках він почне обертатися під дією моменту сили тяжіння. Тільки коли нитка кріпиться до центру диска, обертання немає і встановлюється рівновага.

Точку, щодо якої сумарний момент сил тяжіння всіх частин тіла дорівнює нулю, називають центром тяжіння. Під час розгляду об'єктів, що у однорідному гравітаційному полі, центр тяжкості твердого тіла збігається з центром мас. Загалом це не так.

Поняттям центру тяжкості користуються лише стосовно твердих тіл, що у полі тяжкості. В інших випадках його використання не має сенсу.

Розглянемо два тіла, з'єднані невагомим стрижнем. Система підвішена ні нитки і перебуває у рівновазі. Тоді точка, до якої прикріплена нитка є центр ваги. З рівності моментів сил отримуємо співвідношення:

Мал. 2. Центр тяжкості двох тіл, скріплених стрижнем.

З отриманого результату можна будувати висновки про становищі центрів тяжкості деяких простих однорідних тіл. Наприклад, центр тяжкості стрижня лежить у його середині, кулі – у центрі сфери, що описується його поверхнею, а паралелепіпеда – у точці перетину його діагоналей.

Способи визначення центру важкості

Для однорідних тіл простої форми часто використовують аналітичний метод. Формула розрахунку центру важкості для об'ємних фігур:

$r_c = \frac \cdot \iiint\limits_V r dV$, де V – об'єм тіла.

Для плоских фігур:

$r_c = \frac \cdot \iiint\limits_S r dS$, де S - площа поверхні тіла.

Для однорідної лінії:

$r_c = \frac \cdot \iiint\limits_L r dL$, де L - довжина лінії.

Загальний випадок, коли тіла можуть бути неоднорідними та складною форми, дуже складний. Для них застосовуються такі методи:

Перший метод здійснюється або шляхом підвішування тіла на нитки за різні його ділянки (вздовж нитки проводять лінії, в тій точці, де вони перетинаються, лежить центр тяжіння), або зважуванням (наприклад, автомобілі проганяють через ваги і вирішують завдання, подібне до тієї, що була вирішена для двох тіл, скріплених стрижнем).

Другий метод зводиться до того що, що тіло розбивається такі частини, котрим легко знайти центр тяжкості, після чого знаходять центр тяжкості всього тіла по формуле:

Мал. 3. Метод розбиття.

Нарешті, третій метод виходить із принципу, що центр тяжкості симетричних тіл лежить на осі чи площині симетрії. Як правило, цей метод використовують для спрощення попередніх.

Центр тяжкості людини знаходиться в районі п'ятого поперекового хребця. При цьому вертикальне положення вважається нестійким. Нахил тіла вперед чи назад призводить до виникнення моменту сили тяжкості, через що рівновага порушується. Тому для того, щоб рівно стояти на одному місці, доводиться регулярно напружувати м'язи.

Що ми дізналися?

У ході уроку розібрали одну з ключових тем статики – центр ваги тіла, встановили, чим це поняття відрізняється від поняття центру мас, а також розглянули способи визначення для різних тіл.

Рівновага тіл у фізиці - види, формули та визначення з прикладами

Уявіть, що вам потрібно дістати книгу з верхньої полиці. Підставивши стілець, ви стаєте на нього навшпиньки і. не утримуєте рівноваги.А ось неваляшка завжди повертається у вертикальне положення і ніколи не втрачає рівноваги! Що таке рівновагу і за яких умов реальне тіло (а не його модель — матеріальна точка) перебуває у рівновазі?

Що таке рівновагу тіла

Рівновагу тіла - Це збереження стану руху або стану спокою тіла з часом. Що означає збереження стану руху? Для початку визначимо поступальний та обертальний рух.

Рух кульки похилому жолобу складний — його можна розкласти на два простих рухи:

• обертальне щодо осі AB з деякою кутовою швидкістю ω;
• поступальне зі швидкістю

Центр мас тіла

Якщо до нерухомого тіла прикласти деяку силу, зазвичай тіло починає обертатися і водночас рухатись поступово. Але через деякий час обертальний рух тіла припиниться і тіло рухатиметься лише поступово. Це станеться тоді, коли лінія дії сили пройде через центр мас тіла.

Центр мас тіла - Це точка перетину прямих, вздовж яких спрямовані сили, кожна з яких викликає лише поступальний рух тіла (рис. 14.1).

Якщо розміри тіла набагато менші за радіус Землі, то центр мас тіла збігається з центром тяжкості. Нагадаємо: центр тяжкості симетричних фігур розташований у їхньому геометричному центрі; центр тяжкості трикутника - у точці перетину його медіан. (Про деякі методи визначення центру мас ви дізнаєтесь у ході лабораторної роботи №4.)

Момент сили M — це фізична величина, яка дорівнює добутку модуля сили F, що діє на тіло, на плече d цієї сили:

Одиниця моменту сили в СІ ньютонметр: .

Плечо d сили F — найменша відстань від осі обертання тіла до лінії, вздовж якої діє сила (рис.14.2).

На малюнку сила повертає тіло проти ходу годинникової стрілки — момент такої сили вважається позитивним. Якщо сила повертає (чи намагається повернути) тіло під час годинникової стрілки, момент такої сили прийнято вважати негативним. Зазвичай на тіло діють кілька сил, моменти яких може бути як позитивними, і негативними, а можуть дорівнювати нулю.

За яких умов тіло перебуває у рівновазі

• Якщо тіло може рухатися тільки поступово (не може обертатися), то відповідно до закону інерції таке тіло знаходиться в рівновазі, якщо рівнодіюча сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю:

приклад. Розташоване на похилій площині тіло знаходиться в стані рівноваги, якщо сили, що діють на нього, скомпенсовані:

• Якщо тіло може тільки обертатися (має нерухому вісь обертання), то відповідно до правила моментів таке тіло знаходиться в рівновазі, якщо сума алгебри моментів сил, що діють на тіло, дорівнює нулю:

приклад. Важель знаходиться в рівновазі, якщо сума моментів сил, що діють на нього, дорівнює нулю:

, Де (сила повертає важіль по ходу годинникової стрілки, сила - проти ходу годинникової стрілки); = 0 (оскільки = 0).

• Якщо тіло може рухатися поступально, а також обертатися навколо деякої осі, то це тіло перебуватиме в рівновазі, якщо дотримані обидві умови рівноваги:

Які існують види рівноваги

При малих відхиленнях від положення рівноваги тіло довільно повертається у вихідне положення

При малих відхиленнях від рівноваги тіло ще більше відхиляється від вихідного положення.

При малих відхиленнях від положення рівноваги тіло залишається у своєму новому положенні

Рівнодійна спрямована до положення рівноваги тіла

Рівнодіюча спрямована від положення рівноваги тіла.

Рівночинна дорівнює нулю.

Сума сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю, але момент сили повертає тіло до положення рівноваги.

Сума сил дорівнює нулю, проте момент сили ще більше відхиляє тіло від положення рівноваги

Сили компенсовані, сума моментів цих сил дорівнює нулю.

Зверніть увагу! Тіло, що має нерухому вісь обертання, перебуватиме в стані стійкої рівноваги, якщо центр ваги тіла розташований нижче за точку опори або підвісу.

На практиці ми часто маємо справу з випадками рівноваги тіл, що спираються на кілька точок або на поверхню: людина спирається на ноги, стіл і стілець на ніжки, автомобіль на колеса, будинок на фундамент і т. д. (рис. 14.3) .

Тіло, що спирається на горизонтальну площину, знаходиться в стані стійкої рівноваги, якщо вертикальна лінія, проведена через центр ваги тіла, проходить у межах площі опори (рис. 14.3, 14.4 а).

Мал. 14.4. Якщо лінія дії сили тяжіння проходить у межах площі опори, рівновага стійка (а), якщо поза площею опори, рівновага порушується – тіло падає (б)

Очевидно: чим нижче розташований центр тяжіння тіла і чим більша площа опори тіла, тим стійкіше тіло. Саме тому фундаменти верстатів роблять широкими та масивними, швидкісні боліди мають дуже низьку посадку, людина чи тварина, щоб прийняти стійке положення, розставляє та трохи згинає ноги (лапи). Щоб збільшити площу опори, людина похилого віку при ходьбі використовує палицю.

Приклад розв'язання задачі

Однорідну рейку довжиною l = 10 м і масою 900 кг піднімають на двох паралельних тросах.Визначте сили натягу тросів, якщо один закріплений на кінці рейки, а другий — на відстані a = 1 м від другого кінця.

Аналіз фізичної проблеми. Виконаємо пояснювальний малюнок, де вкажемо сили, що діють на рейку (сили натягу тросів і силу тяжіння). Як осі обертання виберемо вісь, що проходить, наприклад, через точку (цю точку можна вибрати довільно), і вкажемо плечі сил:

Рішення:

Запишемо дві умови рівноваги тіла:

Тут = 0, оскільки сила намагається повернути рейку проти ходу годинникової стрілки; — сила тяжіння намагається повернути рейку під час годинникової стрілки.

Спроектуємо перше рівняння на вісь ОY, підставимо вирази для моментів сил і отримаємо систему лінійних рівнянь:

Знайдемо з другого рівняння системи: .

Знайдемо з першого рівняння системи: .

Перевіримо одиницю, знайдемо значення шуканих величин:

Аналіз результатів. Перший трос діє на рейку з меншою силою, оскільки сила прикладена далі від центру ваги тіла. Результат реальний. Відповідь:

• Рівновага тіла - це збереження стану руху або спокою тіла з часом. Збереження стану руху означає, що швидкості поступального та обертального рухів тіла залишаються незмінними.
• Тіло буде в рівновазі, якщо дотримано двох умов: 1) рівнодіюча сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю: ; 2) сума моментів всіх сил, які діють тіло, дорівнює нулю: .
• Розрізняють стійке, нестійке, байдуже рівноваги тіл. При стійкому рівновазі тіло, трохи відхилене від положення рівноваги, повертається у вихідне положення; при нестійкому - ще більше відхиляється від вихідного становища, при байдужому - залишається у своєму новому становищі.

Види рівноваги тіла

У механіці часто виникає необхідність відповісти на запитання: в яких випадках тіло може скільки завгодно довго залишатись у спокої, якщо воно перебувало у спокої у початковий момент? Природно, що повинні виконуватися умови рівноваги, розглянуті в § 33. Але практично не у будь-якому положенні рівноваги тіло, що знаходиться в початковий момент у спокої, залишатиметься у спокої та наступні моменти часу. Справа в тому, що в реальних умовах, крім врахованих нами сил (сила тяжкості, сила реакції підвісу, опори, сили тертя і т. д.), тіло відчуває і випадкові, що не враховуються: невеликі струси, коливання повітря і т.д. п. Під дією таких сил тіло хоча б трохи відхилятиметься від положення рівноваги, а в цьому випадку подальша поведінка тіла може бути різною.

При відхиленні тіла від положення рівноваги сили, що діють на нього, як правило, змінюються. Виникає відмінна від нуля рівнодіюча сила, що спричиняє рух тіла. Якщо рівнодіюча повертає тіло в положення рівноваги, то тіло весь час, незважаючи на поштовхи, буде знаходитись поблизу положення рівноваги. Таке положення рівноваги називається стійким.

У стійкій рівновазі знаходиться, наприклад, кулька на увігнутій підставці (рис. 154 а). При відхиленні кульки від положення рівноваги рівнодіюча спрямована до положення рівноваги. Очевидно, що у відхиленому положенні потенційна енергія кульки збільшується. Отже, можна стверджувати, що стійке становище тіла – це таке становище. при якому потенційна енергія тіла мінімальна.

Якщо рівнодіюча сила не повертає тіло до початкового положення рівноваги, а викликає подальше відхилення від нього, то таке положення рівноваги називається нестійким. У такому положенні, наприклад, знаходиться кулька на опуклій підставці (рис. 154, б). При відхиленні рівнодіюча сила спрямовано положення рівноваги. При цьому потенційна енергія кульки зменшується. Таким чином, нестійке положення тіла характеризується тим, що при відхиленні від положення рівноваги рівнодіюча сил, прикладених до тіла, спрямована від положення рівноваги, а потенційна енергія тіла зменшується.

Якщо при невеликих зміщеннях тіла з первісного положення рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, залишається рівною нулю, то таке положення рівноваги називається байдужим. У такому положенні, наприклад, знаходиться кулька на горизонтальній площині (рис. 154, в).

Іншим прикладом стійкого та нестійкого рівноваги може бути рівновага тіла, що має вісь обертання. На малюнку 155 а зображена лінійка, яка може обертатися навколо осі, що проходить через точку Про. Вона знаходиться у стійкій рівновазі, якщо її центр тяжіння — точка C — знаходиться нижче точки О. При відхиленні від положення рівноваги (рис. I55 б) виникає момент сили тяжіння, який повертає лінійку в положення рівноваги. Очевидно, що у відхиленому положенні потенційна енергія лінійки більша, ніж у положенні рівноваги. Таким чином, тіло, що має вісь обертання, перебуватиме у стійкій рівновазі, якщо центр тяжіння тіла знаходиться нижче за осю обертання.

Якщо ж центр ваги знаходиться на вертикальній прямій, що проходить через вісь обертання, розташований вище за осі обертання, то рівновага нестійка (рис.155, в, г). В цьому випадку при відхиленні момент сили тяжіння відхиляє тіло ще далі початкового положення рівноваги. У цьому потенційна енергія тіла зменшується. Якщо ж вісь обертання проходить через його центр тяжіння, то при будь-якому положенні момент сили тяжіння дорівнює нулю, оскільки нулю дорівнює плече цієї сили.

Розглянемо тепер умови стійкості тіла, що спирається не одну точку, як у розглянутих випадках, але в кілька точок (наприклад, стіл чи блок, прислонений до опори, показаний малюнку 156) чи майданчик (наприклад, ящик, поставлений горизонтальну площину). У цих випадках для рівноваги тіла необхідно, щоб вертикаль, проведена через центр тяжіння, проходила всередині площі опори тіла, тобто всередині контуру. утвореного лініями, що з'єднують точки опори, або всередині майданчика, на який спирається тіло. При цьому рівновага є стійкою.

Наприклад, стіл, що стоїть на горизонтальній підлозі, знаходиться у стійкій рівновазі (рис. 157, а). Якщо нахиляти стіл, його центр ваги підніматиметься (рис. 157,6). Однак момент сили тяжіння щодо осі обертання прагнутиме повернути його в початкове положення доти, доки лінія дії сили тяжіння проходить через площу опори столу. Якщо, однак, нахилити стіл так, що лінія дії сили тяжіння вийде за межі площі опори столу, він перекинеться внаслідок дії моменту сили тяжіння. Очевидно, що є граничний кут нахилу, після якого первісна рівновага вже не відновлюється, і тіло перекидається (рис. 157, в).

Граничний кут тим менший, чим вище розташований центр ваги тіла при даній площі опори.Високо навантажена вантажівка легше перекинеться, ніж у випадку, коли центр ваги вантажу лежить низько.

Головні висновки

1. Рівновага тіла буває стійкою, нестійкою і байдужою.
2. Стійкою рівновагою тіла є така рівновага, при виведенні тіла з якого виникає рівнодіюча сила, спрямована у бік первісного положення тіла, або момент сил, що повертає тіло в положення рівноваги. У стійкому положенні потенційна енергія тіла є мінімальною.
3. Нестійкою рівновагою тіла називається така рівновага, при виведенні тіла з якого виникає рівнодіюча сила, спрямована від положення рівноваги, або момент сил, що відхиляє тіло від положення рівноваги. Потенційна енергія тіла у положенні нестійкої рівноваги більша, ніж потенційна енергія тіла у відхиленому положенні.
4. Байдужим положенням рівноваги є таке положення, при виведенні тіла з якого рівнодіюча сила або момент сил залишаються нульовими. Потенційна енергія тіла у своїй не змінюється.

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.